题目
以 y=x 2-e x和 y=x 2-e x为特解的一阶非齐次线性微分方程为_____.
和
为特解的一阶非齐次线性微分方程为_____.
题目解答
答案
.
解析
步骤 1：确定特解形式
给定的特解为 $y_1 = x^2 - e^x$ 和 $y_2 = x^2$。由于 $y_2$ 是 $y_1$ 的一部分，我们可以推断出非齐次线性微分方程的齐次部分的解为 $y_h = c_1 e^x$，其中 $c_1$ 是常数。
步骤 2：确定非齐次部分
由于 $y_2 = x^2$ 是方程的特解，我们可以推断出非齐次部分的解为 $y_p = x^2$。因此，非齐次线性微分方程的一般形式为 $y' + p(x)y = q(x)$，其中 $q(x)$ 是非齐次部分的解。
步骤 3：确定微分方程
由于 $y_1 = x^2 - e^x$ 是方程的特解，我们可以将 $y_1$ 代入微分方程中，得到 $y' - y = 2x - x^2$。因此，非齐次线性微分方程为 $y' - y = 2x - x^2$。
给定的特解为 $y_1 = x^2 - e^x$ 和 $y_2 = x^2$。由于 $y_2$ 是 $y_1$ 的一部分，我们可以推断出非齐次线性微分方程的齐次部分的解为 $y_h = c_1 e^x$，其中 $c_1$ 是常数。
步骤 2：确定非齐次部分
由于 $y_2 = x^2$ 是方程的特解，我们可以推断出非齐次部分的解为 $y_p = x^2$。因此，非齐次线性微分方程的一般形式为 $y' + p(x)y = q(x)$，其中 $q(x)$ 是非齐次部分的解。
步骤 3：确定微分方程
由于 $y_1 = x^2 - e^x$ 是方程的特解，我们可以将 $y_1$ 代入微分方程中，得到 $y' - y = 2x - x^2$。因此，非齐次线性微分方程为 $y' - y = 2x - x^2$。