向量组线性无关设向量组a1,a2,a3线性无关,问以下向量组是否线性无关?β1=a1+2a2+3a3,β2=3a1-a2+4a3,β3=a2+a3

步骤 1：假设线性相关
假设向量组 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 线性相关，则存在不全为0的实数 \(k_1, k_2, k_3\) 使得
\[ k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0 \]
步骤 2：代入向量表达式
将 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 的表达式代入上式，得到
\[ k_1(a_1 + 2a_2 + 3a_3) + k_2(3a_1 - a_2 + 4a_3) + k_3(a_2 + a_3) = 0 \]
步骤 3：整理得到关于 \(a_1, a_2, a_3\) 的等式
整理上式，得到
\[ (k_1 + 3k_2)a_1 + (2k_1 - k_2 + k_3)a_2 + (3k_1 + 4k_2 + k_3)a_3 = 0 \]
步骤 4：利用线性无关的性质
因为向量组 \(a_1, a_2, a_3\) 线性无关，所以 \(a_1, a_2, a_3\) 前面的系数全为0，即
\[ k_1 + 3k_2 = 0 \]
\[ 2k_1 - k_2 + k_3 = 0 \]
\[ 3k_1 + 4k_2 + k_3 = 0 \]
步骤 5：求解方程组
解上述方程组，得到
\[ k_1 = k_2 = k_3 = 0 \]
步骤 6：验证假设
因为 \(k_1, k_2, k_3\) 全为0，与假设矛盾，所以假设不成立，即向量组 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 线性无关。