6.求阿基米德螺线 rho =atheta (agt 0) 相应于 leqslant theta leqslant 2pi 的一段弧长.

考查要点：本题主要考查极坐标下曲线弧长的计算，涉及积分法的应用。

解题核心思路：

1. 极坐标弧长公式：弧长公式为 $\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\rho^2 + \left( \frac{d\rho}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$。
2. 代入具体表达式：将阿基米德螺线 $\rho = a\theta$ 代入公式，化简被积函数。
3. 积分计算：通过分部积分或查积分表求解 $\int \sqrt{\theta^2 + 1} \, d\theta$，注意上下限代入。

破题关键点：

• 正确应用弧长公式，避免遗漏 $\frac{d\rho}{d\theta}$ 的平方项。
• 积分技巧：处理 $\sqrt{\theta^2 + 1}$ 的积分时，需熟练运用分部积分或积分公式。

步骤1：写出极坐标弧长公式

极坐标下曲线弧长公式为：
$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\rho^2 + \left( \frac{d\rho}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$

步骤2：代入阿基米德螺线表达式

已知 $\rho = a\theta$，则 $\frac{d\rho}{d\theta} = a$。代入公式得：
$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(a\theta)^2 + a^2} \, d\theta = a \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\theta^2 + 1} \, d\theta$

步骤3：计算积分 $\int \sqrt{\theta^2 + 1} \, d\theta$

使用分部积分法或积分公式：
$\int \sqrt{\theta^2 + 1} \, d\theta = \frac{\theta}{2} \sqrt{\theta^2 + 1} + \frac{1}{2} \ln \left( \theta + \sqrt{\theta^2 + 1} \right) + C$

步骤4：代入上下限并化简

将上下限 $\theta = 2\pi$ 和 $\theta = 0$ 代入积分结果：
$\begin{aligned}L &= a \left[ \frac{2\pi}{2} \sqrt{(2\pi)^2 + 1} + \frac{1}{2} \ln \left( 2\pi + \sqrt{(2\pi)^2 + 1} \right) \right] \\&= \frac{a}{2} \left[ 2\pi \sqrt{1 + 4\pi^2} + \ln \left( 2\pi + \sqrt{1 + 4\pi^2} \right) \right]\end{aligned}$