题目

13. 已知3阶行列式|A|=-9，其第2行元素为[1,1,2]，第3行元素为[2,2,1]，则A_(31)+A_(32)-3A_(33)=____.

13. 已知3阶行列式$|A|=-9$，其第2行元素为[1,1,2]，第3行元素为[2,2,1]，则$A_{31}+A_{32}-3A_{33}=$____.

题目解答

答案

为了求解 $ A_{31} + A_{32} - 3A_{33} $，我们首先需要理解 $ A_{ij} $ 的含义。 $ A_{ij} $ 是矩阵 $ A $ 的第 $ i $ 行第 $ j $ 列元素的代数余子式，即在 $ A $ 中去掉第 $ i $ 行第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式乘以 $ (-1)^{i+j} $。 给定 $ A $ 是一个 3 阶矩阵，其第 2 行元素为 [1, 1, 2]，第 3 行元素为 [2, 2, 1]。设 $ A $ 的第 1 行元素为 [ $ a_{11} $, $ a_{12} $, $ a_{13} $ ]。则矩阵 $ A $ 可以表示为： \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \] 已知 $ |A| = -9 $。根据行列式的定义，我们有： \[ |A| = a_{11} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \] 计算 2 阶行列式： \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 2 - 2 = 0 \] 代入行列式 $ |A| $ 的表达式中，得到： \[ |A| = a_{11} \cdot (-3) - a_{12} \cdot (-3) + a_{13} \cdot 0 = -3a_{11} + 3a_{12} = -9 \] 化简得： \[ -3a_{11} + 3a_{12} = -9 \implies a_{11} - a_{12} = 3 \] 现在，我们需要求 $ A_{31} + A_{32} - 3A_{33} $。根据代数余子式的定义： \[ A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2a_{12} - a_{13} \] \[ A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(2a_{11} - a_{13}) = -2a_{11} + a_{13} \] \[ A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a_{11} - a_{12} \] 代入 $ A_{31} + A_{32} - 3A_{33} $ 中，得到： \[ A_{31} + A_{32} - 3A_{33} = (2a_{12} - a_{13}) + (-2a_{11} + a_{13}) - 3(a_{11} - a_{12}) = 2a_{12} - a_{13} - 2a_{11} + a_{13} - 3a_{11} + 3a_{12} = 5a_{12} - 5a_{11} = -5(a_{11} - a_{12}) \] 由于 $ a_{11} - a_{12} = 3 $，代入得： \[ A_{31} + A_{32} - 3A_{33} = -5 \cdot 3 = -15 \] 因此，答案是： \[ \boxed{-15} \]

解析

考查要点：本题主要考查代数余子式的计算及行列式的展开方法，需要结合已知行列式的值求解未知元素的关系，进而代入目标表达式。

解题核心思路：

  1. 明确代数余子式的定义：代数余子式$A_{ij}$是去掉第$i$行第$j$列后的子行列式乘以$(-1)^{i+j}$。
  2. 利用行列式展开式建立方程：通过已知行列式$|A|=-9$，结合第二、第三行的已知元素，展开行列式，得到第一行元素$a_{11}$与$a_{12}$的关系。
  3. 代数余子式的具体计算：分别计算$A_{31}$、$A_{32}$、$A_{33}$，代入目标表达式并化简，最终结合$a_{11}-a_{12}=3$求解结果。

破题关键点：

  • 正确展开行列式，确定$a_{11}$与$a_{12}$的关系。
  • 准确计算各代数余子式，注意符号的处理。
  • 代数化简，将目标表达式转化为与$a_{11}-a_{12}$相关的形式。

步骤1：确定第一行元素的关系

矩阵$A$的形式为：
$A = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\1 & 1 & 2 \\2 & 2 & 1\end{pmatrix}$
按第一行展开行列式：
$|A| = a_{11} \cdot \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix} - a_{12} \cdot \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix} + a_{13} \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{vmatrix}$
计算子行列式：
$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -3, \quad \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{vmatrix} = 0$
代入得：
$-3a_{11} + 3a_{12} = -9 \implies a_{11} - a_{12} = 3$

步骤2：计算代数余子式

  • $A_{31}$：去掉第三行第一列，子行列式为$\begin{vmatrix}a_{12} & a_{13} \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2a_{12} - a_{13}$，符号为$(-1)^{3+1}=1$，故：
    $A_{31} = 2a_{12} - a_{13}$

  • $A_{32}$：去掉第三行第二列，子行列式为$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{13} \\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2a_{11} - a_{13}$，符号为$(-1)^{3+2}=-1$，故：
    $A_{32} = - (2a_{11} - a_{13}) = -2a_{11} + a_{13}$

  • $A_{33}$：去掉第三行第三列，子行列式为$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ 1 & 1\end{vmatrix} = a_{11} - a_{12}$，符号为$(-1)^{3+3}=1$，故：
    $A_{33} = a_{11} - a_{12}$

步骤3：代入目标表达式

$\begin{aligned}A_{31} + A_{32} - 3A_{33} &= (2a_{12} - a_{13}) + (-2a_{11} + a_{13}) - 3(a_{11} - a_{12}) \\&= 2a_{12} - a_{13} - 2a_{11} + a_{13} - 3a_{11} + 3a_{12} \\&= 5a_{12} - 5a_{11} \\&= -5(a_{11} - a_{12})\end{aligned}$
由$a_{11} - a_{12} = 3$，得：
$A_{31} + A_{32} - 3A_{33} = -5 \cdot 3 = -15$