设α为常数，则级数sum _(n=1)^infty (dfrac (sin nalpha )({n)^2}-dfrac (1)(sqrt {n)})(). A．绝对收敛 B．条件收敛 C．发散 D．收敛性与α的取值有关

考查要点：本题主要考查级数的收敛性判断，涉及绝对收敛、条件收敛、发散的判定，以及级数拆分与组合的性质。

解题核心思路：

1. 拆分级数：将原级数拆分为两个子级数$\sum \frac{\sin n\alpha}{n^2}$和$\sum -\frac{1}{\sqrt{n}}$，分别分析其收敛性。
2. 判断子级数性质：
   • $\sum \frac{\sin n\alpha}{n^2}$：利用绝对收敛判别法（比较法），证明其绝对收敛。
   • $\sum -\frac{1}{\sqrt{n}}$：通过p级数性质（$p=\frac{1}{2}<1$）判断其发散。
3. 综合结论：绝对收敛级数与发散级数的和仍发散，因此原级数发散。

破题关键点：

• 明确拆分后两个子级数的性质差异，尤其是第二个子级数的发散性主导整体结果。

拆分原级数

原级数可拆分为：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\alpha}{n^2} \quad \text{和} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}\right).$

分析第一个子级数$\sum \frac{\sin n\alpha}{n^2}$

1. 绝对收敛性：
   由于$|\sin n\alpha| \leq 1$，有
   $\left|\frac{\sin n\alpha}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}.$
   而$\sum \frac{1}{n^2}$是p级数（$p=2>1$），绝对收敛。
   结论：$\sum \frac{\sin n\alpha}{n^2}$绝对收敛。

分析第二个子级数$\sum -\frac{1}{\sqrt{n}}$

1. 发散性：
   $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$是p级数（$p=\frac{1}{2}<1$），发散。
   结论：$\sum -\frac{1}{\sqrt{n}}$发散（符号不影响发散性）。

综合原级数的收敛性

• 绝对收敛级数与发散级数的和仍发散：
  第一个子级数的部分和有界，第二个子级数的部分和无界，因此整体部分和无界，原级数发散。