8.[判断题]因x→0时，tan x sim x，sin x sim x，故lim _(x arrow 0) (tan x - sin x)/(x^3) = lim _(x arrow 0) (x - x)/(x^3) = 0. ( )A. 对B. 错

本题考查等价无穷小替换的使用条件以及极限的计算。解题思路是先明确等价无穷小替换的规则，再分析题目中替换是否正确，若不正确则用正确方法计算极限来判断对错。

等价无穷小替换规则

在求极限的乘除运算中，等价无穷小可以相互替换，但在极限过程中为无穷小的因子。但在加减运算中，不能随意使用等价无穷小替换。

分析题目中的替换

题目中
在计算$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$时，直接将$\tan x$和$\sin x$都替换为$x$，这是在加减运算中使用等价无穷小替换，是错误的。

正确计算极限

• 步骤一：对原式进行化简
  将$\tan x$ = \frac{\sin x}{\cos x})代入原式可得：
  $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3}$
  提取公因式$\sin x$得到：
  $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x(\frac{1}{\cos x} - 1)}{x^3}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x(1 - \cos x}{x^3\cos x}$
• 步骤二：利用等价无穷小替换
  当$x \to 0$时，$\sin x\sim x$，$1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^2$，代入上式可得：
  $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}}{x^3\cos x}$
• 步骤三：计算极限
  $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\cdot\frac{1}{2}x^2}{x^3\cos x}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3\cos x}\}$
  约去$x^3$得到：
  $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}}{\cos x}$
  将$x = 0$代入$\frac{\frac{1}{2}}{\cos x}$可得：
  $\frac{\frac{1}{2}}{\cos 0}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}\neq0$

所以原说法错误。