题目

1.问下列各函数有哪些孤立奇点?各属于哪一类型?如果是极点,指出它的阶数.-|||-(1) dfrac (1)({z)^3(({z)^2+1)}^2}-|||-(2) dfrac ({e)^2sin 2}({2)^2};-|||-(3) dfrac (1)({2)^3-(z)^2-z+1}-|||-(4) dfrac (1)(sin 2)-|||-(5) dfrac (z)((1+{z)^2)(1+(e)^z)}-|||-(6) sin dfrac (1)(1-z);-|||-(7) ^2-dfrac (1)(z);-|||-(8) sin dfrac (1)(z)+dfrac (1)({z)^2};-|||-overline (1-i)-|||-(10) dfrac ({z)^2n}(1+{z)^n};-|||-(11) dfrac (ln (z+1))(z);-|||-(12) dfrac ({e)^dfrac (1{1)-i}}({e)^2-1}

题目解答

答案

解析

题目考察知识

主要考察复变函数中孤立奇点的类型判断，包括可去奇点、极点（一阶/二阶/…/n阶）和本性奇点的判定方法，关键知识点如下：

  1. 孤立奇点类型判定：
    • 可去奇点：若$(f(z)在孤立奇点\(z_0$的洛朗展开中不含不含负幂项)；
    • 极点：若洛朗展开中含有限个负幂项，最高负幂次为$-m$，则为$m$阶极点；
    • **本性奇点：若洛朗展开中含无穷多个负幂项。
  2. 常见函数奇点：$\sin z,z^n,e^z,\ln(z+1)$等的奇点性质，及有理函数、分式函数的奇点由由分母零点决定。

题目详解

(1) $\frac{1}{z^3(z^2+1)^2}$

  • 奇点：$zz=0$（分母$z^3=0$）、$z=\pm i$（分母$(z^2+1)^2=(z-i)^2(z+i)^2=0$）。
  • 类型：**
    • $z=0$：分母因子$z^3$，故为3阶极点；
    • $z=\pm i$：分母因子$(z\mp i)^2$，故为2阶极点。

(2) $\frac{e^z\sin z}{z^2}$

  • 奇点：$z=0$（分母$z^2=0$）。
  • 类型：
    • $e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots$，$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\cdots$，乘积$e^z\sin z)=z+z^2+\cdots$，故$\frac{e^z\sin z}{z^2}=\frac{1}{z}+1+\cdots$，洛朗展开含$z^{-1}$项，为1阶极点。

(3) $\frac{1}{z^3-z^2-z+1}$

  • 分母因式分解：$z^3-z^2-z+1=(z-1)^2(z+1)$（分组分解：$z^2(z-1)-**奇点：\z=1$（二重根）、\z=-1)（单根）。
  • 类型：
    • $z=-1$：分母单因子，为1阶极点；
    • $z=1$：分母二重因子，为2阶极点。

(4) $\frac{1}{\sin z}$

  • 奇点：\z=k\pi(k\in\mathbb{Z}))（$\sin z=0$的零点）。
  • 类型：$\sin z=k\pi$时，$\sin z=(z-k\pi)-\frac{(z-k\pi)^3}{6}+\cdots$，分母单因子，故为1阶极点**。

(5) $\frac{z}{(1+z^2)(1+e^{iz})}$

  • 奇点：\z=\pm i)（$1+z^2=0$）、$z=(2k+1)\pi i(k\in\mathbb{Z})$**（$1+e^{iz}=0\Rightarrow e^{iz}=\pi i+2k\pi i\Rightarrow z=(2k+1)\pi$）。
  • 类型：
    • $z=\pm i$：分母单因子，为1阶极点；
    • $z=(2k+1)\pi i$：分母单因子，为1阶极点。

(6) $\sin\frac{1}{1-z}$

-奇点：\z=1)（$\frac{1}{1-z}$在$z=1$无定义）。

  • 类型：$\sin w=w-\frac{w^3}{6}+\frac{w^5}{120}-\cdots$，令$w=\frac{1}{1-z}$，则$\sin\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-z}-\frac{1}{6(1-z)^3}+\frac{1}{120(1-z)^5}-\cdots$，洛朗展开含无穷多负幂项，为本性奇点**。

(7) $e^{\frac{1}{z}}=\frac{1z$（题目可能为$e^{\frac{1}{z}}$，原表述可能笔误）

  • 奇点：\z=0。
  • 类型：$e^{\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\cdots$，洛朗展开含无穷多负幂项，为本性奇点**。

(8) $\sin\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}$

  • 奇点：z=0。
  • 类型：$\sin\frac{1}{z}=\frac{1}{z}-\frac{1}{6z^3}+\frac{1}{120z^5}-\cdots$，故$\sin\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}-\frac{1}{6z^3}+\cdots$，洛朗展开含无穷多负幂项，本性奇点**。

(9) $e^{\frac{z}{1-z}}$

  • 奇点：z=1。
  • 类型：$\frac{z}{1-z}=-\frac{z}{z-1}=-1-\frac{1}{z-1}$，$e^{\frac{z}{1-z}}=e^{1-\frac{1}{z-1}}=e\cdot e^{-\frac{1}{z-1}}$，$e^{-\frac{1}{z-1}}=1-\frac{1}{z-1}+\frac{1}{2!(z-1)^2}-\frac{1}{3!(z-1)^3}+\cdots$，洛朗展开含无穷多负幂项，本性奇点**。

(10) $\frac{z}^{2n}/(1+z^n)$

  • 奇点：$1+z^n=0\Rightarrow z=e^{\frac{(2k+1)\pi i}{n}},k=0,1,\cdots,n-1$（$n$次单位根）。
  • 类型：分母单因子，为1阶极点**。

(11) $\frac{\ln(z+1)}{z}$

  • 奇点：z=0。
  • 类型：$\ln(z+1)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots$，故$\frac{\ln(z+1)}{z}=1-\frac{z}{2}+\frac{z^2}{3}-\cdots$，洛朗展开不含负幂项，为可去奇点**。

(12) $\frac{e^{\frac{1}{1-z}}}{e^z-1}$

  • 奇点：$z=1$（$1-z=0$）、$z=2k\pi i(k\in\mathbb{Z)$**（$e^z-1=0\Rightarrow z=2k\pi i$）。
  • 类型：
    • $z=2k\pi i$：分母单因子，为1阶极点；
    • $z=1$：$e^{\frac{1}{1-z}}$的洛朗展开含无穷多负幂项，故整体为本性奇点。