求极限lim _(xarrow 0)cot x(dfrac (1)(sin x)-dfrac (1)(x)) ()-|||-__ __

步骤 1：化简表达式
将原表达式化简为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\cot x(\dfrac {1}{\sin x}-\dfrac {1}{x})$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos x}{\sin x}(\dfrac {x-\sin x}{x\sin x})$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1(x-\sin x)}{x{\sin }^{2}x}$$
步骤 2：使用等价无穷小替换
将$\sin x$替换为$x$，因为当$x\rightarrow 0$时，$\sin x$与$x$是等价无穷小，所以：
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{{x}^{3}}$$
步骤 3：使用洛必达法则
对分子和分母同时求导，得到：
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{3{x}^{2}}$$
步骤 4：再次使用等价无穷小替换
将$1-\cos x$替换为$\dfrac {1}{2}{x}^{2}$，因为当$x\rightarrow 0$时，$1-\cos x$与$\dfrac {1}{2}{x}^{2}$是等价无穷小，所以：
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{x}^{2}}{3{x}^{2}}$$
步骤 5：计算极限
计算得到：
$$=\dfrac {1}{6}$$