题目
已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3， Aα3=-2α1+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵A的特征向量； (Ⅲ)求矩阵A*-6E的秩．
已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，满足Aα1=-α1-3α2-3α3，Aα2=4α1+4α2+α3， Aα3=-2α1+3α3． (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求矩阵A的特征向量； (Ⅲ)求矩阵A*-6E的秩．
题目解答
答案
[解](Ⅰ)据已知条件，有 A(α1，α2，α3)=(-α1-3α2-3α3，4α1+4α2+α3，-2α1+3α3) [*] 记[*]及P1=(α1，α2，α3)，那么由α1，α2，α3线性无关知矩阵P1可逆，且[*]即A与B相似． 由矩阵B的特征多项式 [*] 得矩阵B的特征值是1，2，3．从而知矩阵A的特征值是1，2，3． (Ⅱ)由(E-B)x=0得基础解系β1=(1，1，1)T，即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量， 由(2E-B)x=0得基础解系β2=(2，3，3)T，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量， 由(3E-B)x=0得基础解系β3=(1，3，4)T，即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量， 那么令P2=(β1，β2，β3)，则有[*]于是令 [*] =(α1+α2+α3，2α1+3α2+3α3，α1+3α2+4α3)， 则有[*] 所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为 k1(α1+α2+α3)，k2(2α1+3α2+3α3)，k3(α1+3α2+4α3)，ki≠0(i=1，2，3)． (Ⅲ) 由[*]知，[*] 从而[*]所以秩[*]
解析
步骤 1：构造矩阵B
根据已知条件，构造矩阵B，使得A与B相似。由A(α1，α2，α3)=(-α1-3α2-3α3，4α1+4α2+α3，-2α1+3α3)可知，矩阵B为：
\[ B = \begin{pmatrix} -1 & 4 & -2 \\ -3 & 4 & 0 \\ -3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：求矩阵B的特征值
计算矩阵B的特征多项式，即求解det(B-λE)=0，其中E是单位矩阵。特征多项式为：
\[ \det(B-\lambda E) = \begin{vmatrix} -1-\lambda & 4 & -2 \\ -3 & 4-\lambda & 0 \\ -3 & 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} \]
计算行列式，得到特征多项式为：
\[ (-1-\lambda)((4-\lambda)(3-\lambda)-0) - 4(-3(3-\lambda)) - 2(-3(4-\lambda)) \]
\[ = (-1-\lambda)(12-7\lambda+\lambda^2) + 12(3-\lambda) + 6(4-\lambda) \]
\[ = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 \]
解特征多项式，得到特征值为1，2，3。
步骤 3：求矩阵A的特征向量
由矩阵B的特征值，求解矩阵B的特征向量，再通过相似变换求解矩阵A的特征向量。对于特征值1，2，3，分别求解(B-λE)x=0，得到基础解系，即特征向量。对于矩阵A，特征向量为：
\[ k_1(α_1+α_2+α_3)，k_2(2α_1+3α_2+3α_3)，k_3(α_1+3α_2+4α_3)，k_i≠0(i=1，2，3) \]
步骤 4：求矩阵A*-6E的秩
由矩阵A的特征值，求解矩阵A的伴随矩阵A*，再求解A*-6E的秩。由A的特征值1，2，3，可知A*的特征值为1，1/2，1/3，因此A*-6E的特征值为-5，-11/2，-17/3，从而秩为3。
根据已知条件，构造矩阵B，使得A与B相似。由A(α1，α2，α3)=(-α1-3α2-3α3，4α1+4α2+α3，-2α1+3α3)可知，矩阵B为：
\[ B = \begin{pmatrix} -1 & 4 & -2 \\ -3 & 4 & 0 \\ -3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
步骤 2：求矩阵B的特征值
计算矩阵B的特征多项式，即求解det(B-λE)=0，其中E是单位矩阵。特征多项式为：
\[ \det(B-\lambda E) = \begin{vmatrix} -1-\lambda & 4 & -2 \\ -3 & 4-\lambda & 0 \\ -3 & 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} \]
计算行列式，得到特征多项式为：
\[ (-1-\lambda)((4-\lambda)(3-\lambda)-0) - 4(-3(3-\lambda)) - 2(-3(4-\lambda)) \]
\[ = (-1-\lambda)(12-7\lambda+\lambda^2) + 12(3-\lambda) + 6(4-\lambda) \]
\[ = -\lambda^3 + 6\lambda^2 - 11\lambda + 6 \]
解特征多项式，得到特征值为1，2，3。
步骤 3：求矩阵A的特征向量
由矩阵B的特征值，求解矩阵B的特征向量，再通过相似变换求解矩阵A的特征向量。对于特征值1，2，3，分别求解(B-λE)x=0，得到基础解系，即特征向量。对于矩阵A，特征向量为：
\[ k_1(α_1+α_2+α_3)，k_2(2α_1+3α_2+3α_3)，k_3(α_1+3α_2+4α_3)，k_i≠0(i=1，2，3) \]
步骤 4：求矩阵A*-6E的秩
由矩阵A的特征值，求解矩阵A的伴随矩阵A*，再求解A*-6E的秩。由A的特征值1，2，3，可知A*的特征值为1，1/2，1/3，因此A*-6E的特征值为-5，-11/2，-17/3，从而秩为3。