设4阶矩阵A=(α,r2,r3,r4)，B=(β,r2,r3,r4)，其中α,β,r2,r3,r4均为四维列向量，且已知行列式|A|=4，|B|=1，则行列式|A+B|=( )。A. 5B. 4C. 50D. 40

本题主要考察矩阵行列式的性质，具体涉及矩阵加法与行列式的关系，以及分块矩阵行列式的计算。

关键知识点回顾

1. 矩阵加法的定义：若两个矩阵同型，则它们的和是对应元素相加。对于列向量组成的矩阵，若$A=(\alpha,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_4)$，$B=(\beta,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_4)$，则$A+B$的每一列是$A$和$B$对应列的和，即：
   $A+B=(\alpha+\beta,\mathbf{r}_2+\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3+\mathbfmathbf{r}_3,\mathbf{r}_4+\mathbf{r}_4)=(\alpha+\beta,2\mathbf{r}_2},2\mathbf{r3},2\mathbf{r4})$

2. 行列式的性质：
   若行列式某一列（行）有公因子$k$，则可将$k$提出行列式外，即$\det(k\mathbf{c}, \mathbf{c}_2,\dots,\mathbf{c}_n)=k\det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\dots,\mathbf{c}_n$。

计算过程

• 第一步：写出$A+B$的列向量
  由矩阵加法定义，$A+B$的各列为：
  第1列：$\alpha+\beta$，第2列：$2\mathbf{r}_2$，第3列$2\mathbf{r}_3$，第4列$2\mathbf{r}_4$，即：
  $A+B=(\alpha+\beta,2\mathbf{r}_2,2\mathbf{r}_3,2\mathbf{r}_4)$

• 第二步：利用行列式性质提取公因子
  第2,3,4列均有公因子2，共3列，故可提取$2^3=8$：
  $|A+B|=|(\alpha+\beta,2\mathbf{r}_2,2\mathbf{r}_3,2\mathbf{r}_4)|=2^3|\alpha+\beta,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_4|=8|\alpha+\beta,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3,\mathbf{r}_4|$

• 第三步：拆分行列式
  根据行列式中若某一列是两个向量之和，可拆分为两个行列式之和：
  $|\alpha+\beta,\mathbf{r}_2},\mathbf{r3},\mathbf{r4}|=|\alpha,\mathbf{r2},\mathbf{r3},\mathbf{r4}|+|\beta,\mathbf{r2,\mathbf{r3},\mathbf{r4}|=|A|+|B|$

• 第四步：代入已知行列式的值
  已知$|A|=4$，$|B|=1$，故：
  $| |A+B|=8\times(4+1)=8\times5=40$