【例7】设f(x)为连续函数，则f'(x_(0))=0是f(x)在点x_(0)处取得极值的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 非充分非必要条件

本题考查函数取得极值的条件以及充分条件、必要条件的判断。解题的关键在于明确函数在某点取得极值与该点导数为零之间的逻辑关系，通过分析充分性和必要性来确定最终答案。

充分性判断

充分性是指若$f^\prime(x_{0}) = 0$，则$f(x)$在点$x_{0}$处取得极值。
我们可以通过举反例来判断充分性是否成立。考虑函数$f(x)=x^{3}$，对其求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$f^\prime(x)=3x^{2}$。
令$x_{0}=0$，则$f^\prime(0)=3\times0^{2}=0$。
当$x\lt0$时，$f(x)=x^{3}\lt0$；当$x\gt0$时，$f(x)=x^{3}\gt0$。
这说明在$x = 0$的两侧函数值的符号相同，函数$f(x)=x^{3}$在$x = 0$处并没有取得极值。
所以$f^\prime(x_{0}) = 0$不能推出$f(x)$在点$x_{0}$处取得极值，即充分性不成立。

必要性判断

必要性是指若$f(x)$在点$x_{0}$处取得极值，则$f^\prime(x_{0}) = 0$。
根据函数极值的定义和导数的性质，如果函数$f(x)$在点$x_{0}$处可导且取得极值，那么在$x_{0}$的某邻域内，当$x\lt x_{0}$时，$f(x)$与$f(x_{0})$的大小关系和当$x\gt x_{0}$时，$f(x)$与$f(x_{0})$的大小关系必然发生改变。
根据导数的定义$f^\prime(x_{0})=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$，当$\Delta x\to0^{+}$和$\Delta x\to0^{-}$时，极限值必然相等且为$0$，即$f^\prime(x_{0}) = 0$。
所以$f(x)$在点$x_{0}$处取得极值可以推出$f^\prime(x_{0}) = 0$，即必要性成立。