} 2 & 2 & 6 3 & 2 & 7 2 & 0 & 2 伴随矩阵的秩是 ( )。A. 0B. 1C. 2D. 3
$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 3 & 2 & 7 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 伴随矩阵的秩是 ( )。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
题目解答
答案
我们来解这道题目：
题目给出一个 $3 \times 3$ 的矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 3 & 2 & 7 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$
要求的是 伴随矩阵（adjugate matrix）的秩，即 $\text{rank}(\text{adj}(A))$。
第一步：回顾伴随矩阵的性质
对于一个 $n \times n$ 矩阵 $A$，其伴随矩阵 $\text{adj}(A)$ 满足：
$A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I$
并且有如下重要结论（关于秩的性质）：
- 若 $\text{rank}(A) = n$，则 $\text{rank}(\text{adj}(A)) = n$
- 若 $\text{rank}(A) = n-1$，则 $\text{rank}(\text{adj}(A)) = 1$
- 若 $\text{rank}(A) < n-1$，则 $\text{rank}(\text{adj}(A)) = 0$
这里 $n = 3$，所以我们需要先判断原矩阵 $A$ 的秩。
第二步：计算矩阵 $A$ 的行列式，判断其是否满秩
计算 $\det(A)$：
$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 3 & 2 & 7 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
我们用按第三行展开（因为第三行有一个 0，方便计算）：
$\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} - 0 \cdot (\cdots) + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$
计算两个二阶行列式：
- $\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = 2 \cdot 7 - 6 \cdot 2 = 14 - 12 = 2$
- $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$
代入：
$\det(A) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 4 - 4 = 0$
所以 $\det(A) = 0$，说明 $A$ 不可逆，$\text{rank}(A) < 3$
第三步：判断 $\text{rank}(A)$ 是 2 还是小于 2
我们已经知道 $\text{rank}(A) < 3$，现在判断是否等于 2。
只需找出一个 $2 \times 2$ 的子式行列式不为 0。
比如看左上角的 $2 \times 2$ 子矩阵：
$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \ne 0$
所以存在一个二阶子式非零，说明 $\text{rank}(A) \ge 2$
又因为 $\det(A) = 0$，所以 $\text{rank}(A) < 3$
因此，$\text{rank}(A) = 2$
第四步：根据秩的性质判断伴随矩阵的秩
前面提到：
- 若 $\text{rank}(A) = n - 1 = 2$，则 $\text{rank}(\text{adj}(A)) = 1$
所以，$\text{rank}(\text{adj}(A)) = 1$
答案：
$\boxed{B. \ 1}$
总结解题过程：
- 计算原矩阵 $A$ 的行列式，得 $\det(A) = 0$，故 $\text{rank}(A) < 3$
- 找到一个非零的二阶子式，说明 $\text{rank}(A) \ge 2$，因此 $\text{rank}(A) = 2$
- 根据伴随矩阵的秩的性质：当 $\text{rank}(A) = n - 1 = 2$ 时，$\text{rank}(\text{adj}(A)) = 1$
- 得出答案为 B. 1
✅ 最终答案：$\boxed{B}$
解析
考查要点：本题主要考查伴随矩阵的秩与原矩阵秩的关系，以及行列式、矩阵秩的计算方法。
解题核心思路：
- 计算原矩阵的行列式，判断其是否满秩（秩为3）。
- 若行列式为0，则进一步判断原矩阵的秩是否为2（即是否存在非零的二阶子式）。
- 根据伴随矩阵秩的性质：当原矩阵秩为2时，伴随矩阵的秩为1。
破题关键点：
- 行列式为0说明原矩阵不满秩（秩小于3）。
- 存在非零的二阶子式说明原矩阵秩为2。
- 伴随矩阵秩的性质直接关联原矩阵秩，无需直接计算伴随矩阵。
步骤1：计算原矩阵的行列式
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 3 & 2 & 7 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 的行列式为：
$\det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (2 \cdot 7 - 6 \cdot 2) + 2 \cdot (2 \cdot 2 - 2 \cdot 3) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) = 0$
因此，$\det(A) = 0$，说明 $A$ 不满秩（秩小于3）。
步骤2：判断原矩阵的秩
检查是否存在非零的二阶子式。例如，左上角的 $2 \times 2$ 子矩阵：
$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = -2 \neq 0$
因此，$\text{rank}(A) \geq 2$。结合 $\det(A) = 0$，可得 $\text{rank}(A) = 2$。
步骤3：确定伴随矩阵的秩
根据伴随矩阵秩的性质：
- 若 $\text{rank}(A) = n-1$（此处 $n=3$，即 $\text{rank}(A)=2$），则 $\text{rank}(\text{adj}(A)) = 1$。