题目

根据关于 x的一元二次方程 x 2 ＋ px＋ q＝ 0 ，可列表如下： x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2 ＋px＋q － 15 － 8.75 － 2 － 0.59 0.84 2.29 则方程 x 2 ＋ px＋ q＝ 0 的正数解满足（　　） A． 解的整数部分是 0 ，十分位是 5 B． 解的整数部分是 0 ，十分位是 8 C． 解的整数部分是 1 ，十分位是 1 D． 解的整数部分是 1 ，十分位是 2

根据关于 x的一元二次方程 x 2 ＋ px＋ q＝ 0 ，可列表如下：
x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3
x 2 ＋px＋q － 15 － 8.75 － 2 － 0.59 0.84 2.29
则方程 x 2 ＋ px＋ q＝ 0 的正数解满足（　　）
A． 解的整数部分是 0 ，十分位是 5 B． 解的整数部分是 0 ，十分位是 8
C． 解的整数部分是 1 ，十分位是 1 D． 解的整数部分是 1 ，十分位是 2

题目解答

答案

C

解析

考查要点：本题主要考查利用函数值的变化趋势确定一元二次方程根的近似位置，涉及函数零点存在性定理的应用及线性插值法的估算。

解题核心思路：

  1. 观察函数值符号变化：找到函数值由负转正的区间，确定根的大致范围。
  2. 估算根的精确位置：通过相邻两点的函数值变化，估算根的十分位数值。

破题关键点：

  • 锁定正数解区间：根据表格中$x=1.1$时$f(x)=-0.59$，$x=1.2$时$f(x)=0.84$，确定根在$(1.1, 1.2)$之间。
  • 判断十分位：结合函数值变化趋势，估算根更接近$1.1$还是$1.2$。

步骤1：确定根的存在区间

  • 当$x=1.1$时，$f(x)=-0.59$（负值）；
  • 当$x=1.2$时，$f(x)=0.84$（正值）。
    根据函数零点存在性定理，方程在$(1.1, 1.2)$之间存在一个根。

步骤2：估算根的十分位

  • 函数值从$x=1.1$到$x=1.2$的变化量为：
    $\Delta f = 0.84 - (-0.59) = 1.43$
  • 从$x=1.1$开始，函数值需增加$0.59$才能达到$0$，对应的比例为：
    $\frac{0.59}{1.43} \approx 0.4126$
  • 对应的$x$增量为：
    $0.4126 \times 0.1 \approx 0.0413$
  • 因此，根的近似值为：
    $1.1 + 0.0413 \approx 1.1413$
    整数部分为$1$，十分位为$1$。

步骤3：验证选项

  • 选项C（整数部分$1$，十分位$1$）符合估算结果。