题目
下列方阵中，不可逆的是（）.A). 1 6-|||-3 2-|||-2-|||-6A). 1 6-|||-3 2-|||-2-|||-6A). 1 6-|||-3 2-|||-2-|||-6A). 1 6-|||-3 2-|||-2-|||-6
下列方阵中，不可逆的是（）.
题目解答
答案
对于
，
；对于
选项，
；对于
选项，因为行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，按第二行展开可得
；对于
选项，
表示对角线元素为
，其余元素全为零的方阵，故其行列式为
；因为当矩阵不可逆时，其行列式等于零，在四个选项中，只有选项的行列式等于零，所以答案选择选项。
解析
步骤 1：计算选项(A)的行列式
对于选项(A)，我们有矩阵 $\left (\begin{matrix} 1& 6\\ 3& 2\end{matrix} ) \right.$，其行列式为 $|\begin{matrix} 1& 6\\ 3& 2\end{matrix} | = 1\times 2 - 3\times 6 = 2 - 18 = -16$。由于行列式不为零，所以矩阵可逆。
步骤 2：计算选项(B)的行列式
对于选项(B)，我们有矩阵 $\left (\begin{matrix} -2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 1& 3& 4\end{matrix} ) \right.$，其行列式为 $|\begin{matrix} -2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 1& 3& 4\end{matrix} | = -2\times 2\times 4 = -16$。由于行列式不为零，所以矩阵可逆。
步骤 3：计算选项(C)的行列式
对于选项(C)，我们有矩阵 $\left (\begin{matrix} 1& -2& 0\\ 0& 0& 4\\ 2& -4& 1\end{matrix} ) \right.$，其行列式为 $|\begin{matrix} 1& -2& 0\\ 0& 0& 4\\ 2& -4& 1\end{matrix} |$。按第二行展开，行列式值为 $0\times |\begin{matrix} 1& 0\\ 2& 1\end{matrix} | - 0\times |\begin{matrix} 1& -2\\ 2& -4\end{matrix} | + 4\times |\begin{matrix} 1& -2\\ 2& -4\end{matrix} | = 0 - 0 + 4\times (1\times -4 - 2\times -2) = 4\times (-4 + 4) = 0$。由于行列式为零，所以矩阵不可逆。
步骤 4：计算选项(D)的行列式
对于选项(D)，我们有矩阵 $diag(4,1,2,1)$，其行列式为 $4\times 1\times 2\times 1 = 8$。由于行列式不为零，所以矩阵可逆。
对于选项(A)，我们有矩阵 $\left (\begin{matrix} 1& 6\\ 3& 2\end{matrix} ) \right.$，其行列式为 $|\begin{matrix} 1& 6\\ 3& 2\end{matrix} | = 1\times 2 - 3\times 6 = 2 - 18 = -16$。由于行列式不为零，所以矩阵可逆。
步骤 2：计算选项(B)的行列式
对于选项(B)，我们有矩阵 $\left (\begin{matrix} -2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 1& 3& 4\end{matrix} ) \right.$，其行列式为 $|\begin{matrix} -2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 1& 3& 4\end{matrix} | = -2\times 2\times 4 = -16$。由于行列式不为零，所以矩阵可逆。
步骤 3：计算选项(C)的行列式
对于选项(C)，我们有矩阵 $\left (\begin{matrix} 1& -2& 0\\ 0& 0& 4\\ 2& -4& 1\end{matrix} ) \right.$，其行列式为 $|\begin{matrix} 1& -2& 0\\ 0& 0& 4\\ 2& -4& 1\end{matrix} |$。按第二行展开，行列式值为 $0\times |\begin{matrix} 1& 0\\ 2& 1\end{matrix} | - 0\times |\begin{matrix} 1& -2\\ 2& -4\end{matrix} | + 4\times |\begin{matrix} 1& -2\\ 2& -4\end{matrix} | = 0 - 0 + 4\times (1\times -4 - 2\times -2) = 4\times (-4 + 4) = 0$。由于行列式为零，所以矩阵不可逆。
步骤 4：计算选项(D)的行列式
对于选项(D)，我们有矩阵 $diag(4,1,2,1)$，其行列式为 $4\times 1\times 2\times 1 = 8$。由于行列式不为零，所以矩阵可逆。