(1999年试题，1)设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则().A. 当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B. 当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C. 当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D. 当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数

本题考查原函数与被积函数奇偶性的关系，需结合导数与积分的性质进行分析。关键点在于：

1. 原函数与被积函数的导数关系：若$F(x)$是$f(x)$的原函数，则$F'(x) = f(x)$。
2. 奇偶函数的导数性质：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
3. 积分结果的奇偶性：积分奇函数（从$0$到$x$）的结果是偶函数，积分偶函数的结果是奇函数（需注意常数项的影响）。

选项A分析

若$f(x)$是奇函数，则$f(-x) = -f(x)$。假设$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$F'(x) = f(x)$。

• 导数性质：$F'(-x) = f(-x) = -f(x) = -F'(x)$，说明$F'(x)$是奇函数。
• 积分结果：若$F(x)$是从$0$到$x$的积分（即$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$），则$F(-x) = \int_0^{-x} f(t) \, dt = -\int_0^x f(-t) \, dt = -\int_0^x (-f(t)) \, dt = \int_0^x f(t) \, dt = F(x)$，故$F(x)$是偶函数。
  因此，选项A正确。

选项B分析

若$f(x)$是偶函数，则$f(-x) = f(x)$。类似地，$F'(x) = f(x)$是偶函数，故$F'(x)$是奇函数的导数。

• 积分结果：若$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，则$F(-x) = -\int_0^x f(-t) \, dt = -\int_0^x f(t) \, dt = -F(x)$，此时$F(x)$是奇函数。
• 但若原函数包含常数项（如$F(x) = \int f(t) \, dt + C$），则$F(-x) = -F(x) + 2C$，无法保证为奇函数。
  因此，选项B错误。

选项C分析

若$f(x)$是周期函数，设周期为$T$，则$F(x+T) - F(x) = \int_x^{x+T} f(t) \, dt = \int_0^T f(t) \, dt$（常数）。

• 周期性破坏：若积分结果不为零，则$F(x+T) \neq F(x)$，故$F(x)$不一定是周期函数。
  因此，选项C错误。

选项D分析

若$f(x)$单调增，则$F''(x) = f'(x) \geq 0$，说明$F'(x)$单调增。

• 单调性矛盾：$F'(x)$单调增但可能变号（如$f(x) = x$时，$F(x) = \frac{1}{2}x^2 + C$在$x < 0$时递减）。
  因此，选项D错误。