题目
设有线性方程组 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_b4f22457fcdd5def491e4eb46a62ac9d.jpg+(x)_(2)+k(x)_(3)=4 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_f6265e1a3acd93710c9defcc4f21d073.jpg+(x)_(2)+k(x)_(3)=4 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_d03c4be000d5b7114d179543d1c0afe5.jpg+(x)_(2)+k(x)_(3)=4 ，问k取何值时，方程组 （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解．
设有线性方程组
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（1）有唯一解；
（2）无解；
（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解．
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵的形式，我们得到：
$B=\left (\begin{matrix} 1& 1& k& 4\\ -1& k& 1& {k}^{2}\\ 1& -1& 2& -4\end{matrix} ) \right.$
步骤 2：进行行变换
我们对增广矩阵进行行变换，以简化它。首先，将第一行加到第二行和第三行，得到：
$B=\left (\begin{matrix} 1& 1& k& 4\\ 0& k+1& k+1& {k}^{2}+4\\ 0& 0& 2+k& 0\end{matrix} ) \right.$
步骤 3：进一步简化
接下来，我们继续简化矩阵。将第二行乘以$\frac{1}{k+1}$（假设$k\neq -1$），然后将第二行乘以$-1$加到第一行，得到：
$B=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 4\\ 0& 1& 1& \frac{{k}^{2}+4}{k+1}\\ 0& 0& 2+k& 0\end{matrix} ) \right.$
步骤 4：确定解的情况
现在，我们根据$k$的值来确定方程组的解的情况。
- 当$k\neq -1$且$k\neq -2$时，方程组有唯一解。
- 当$k=-1$时，方程组无解，因为此时第三行变为$0=0$，而第二行变为$0=3$，这是矛盾的。
- 当$k=-2$时，方程组有无穷多个解，因为此时第三行变为$0=0$，表示一个自由变量。
步骤 5：求无穷多解时的通解
当$k=-2$时，方程组变为：
${x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{3}=4$
$-{x}_{1}-2{x}_{2}+{x}_{3}=4$
${1}_{1}-{x}_{2}+2{x}_{3}=-4$
简化后得到：
${x}_{1}=4$
${x}_{2}=-2{x}_{3}$
${x}_{3}$为自由变量，所以通解为：
$x=\left (\begin{matrix} 4\\ -2{x}_{3}\\ {x}_{3}\end{matrix} ) \right.$
将方程组写成增广矩阵的形式，我们得到：
$B=\left (\begin{matrix} 1& 1& k& 4\\ -1& k& 1& {k}^{2}\\ 1& -1& 2& -4\end{matrix} ) \right.$
步骤 2：进行行变换
我们对增广矩阵进行行变换，以简化它。首先，将第一行加到第二行和第三行，得到：
$B=\left (\begin{matrix} 1& 1& k& 4\\ 0& k+1& k+1& {k}^{2}+4\\ 0& 0& 2+k& 0\end{matrix} ) \right.$
步骤 3：进一步简化
接下来，我们继续简化矩阵。将第二行乘以$\frac{1}{k+1}$（假设$k\neq -1$），然后将第二行乘以$-1$加到第一行，得到：
$B=\left (\begin{matrix} 1& 0& 0& 4\\ 0& 1& 1& \frac{{k}^{2}+4}{k+1}\\ 0& 0& 2+k& 0\end{matrix} ) \right.$
步骤 4：确定解的情况
现在，我们根据$k$的值来确定方程组的解的情况。
- 当$k\neq -1$且$k\neq -2$时，方程组有唯一解。
- 当$k=-1$时，方程组无解，因为此时第三行变为$0=0$，而第二行变为$0=3$，这是矛盾的。
- 当$k=-2$时，方程组有无穷多个解，因为此时第三行变为$0=0$，表示一个自由变量。
步骤 5：求无穷多解时的通解
当$k=-2$时，方程组变为：
${x}_{1}+{x}_{2}-2{x}_{3}=4$
$-{x}_{1}-2{x}_{2}+{x}_{3}=4$
${1}_{1}-{x}_{2}+2{x}_{3}=-4$
简化后得到：
${x}_{1}=4$
${x}_{2}=-2{x}_{3}$
${x}_{3}$为自由变量，所以通解为：
$x=\left (\begin{matrix} 4\\ -2{x}_{3}\\ {x}_{3}\end{matrix} ) \right.$