7.(填空题，10.0分) hat(theta)_(1),hat(theta)_(2)为的两个独立无偏估计，且hat(theta)_(1)的方差是hat(theta)_(2)的方差的3倍.当c_(1)=____，c_(2)=____时才能使c_(1)hat(theta)_(1)+c_(2)hat(theta)_(2)是theta的无偏估计，且在所有这样的线性估计中方差最小.

本题考查无偏估计和方差最小化的相关知识。解题的关键在于利用无偏估计的性质确定$c_1$与$c_2$的关系，再结合方差的性质求出使方差最小的$c_1$和$c_2$的值。

1. 根据无偏估计的性质确定$c_1$与$c_2$的关系：
   已知$\hat{\theta}_{1},\hat{\theta}_{2}$为$\theta$的两个独立无偏估计，即$E(\hat{\theta}_{1}) = \theta$，$E(\hat{\theta}_{2}) = \theta$。
   对于$c_{1}\hat{\theta}_{1}+c_{2}\hat{\theta}_{2}$是$\theta$的无偏估计，则有$E(c_{1}\hat{\theta}_{1}+c_{2}\hat{\theta}_{2}) = \theta$。
   根据期望的线性性质$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$，可得$E(c_{1}\hat{\theta}_{1}+c_{2}\hat{\theta}_{2}) = c_{1}E(\hat{\theta}_{1}) + c_{2}E(\hat{\theta}_{2}) = c_{1}\theta + c_{2}\theta = (c_{1} + c_{2})\theta$。
   所以$(c_{1} + c_{2})\theta = \theta$，因为$\theta\neq0$，则$c_{1} + c_{2} = 1$，即$c_{2} = 1 - c_{1}$。
2. 计算$c_{1}\hat{\theta}_{1}+c_{2}\hat{\theta}_{2}$的方差：
   已知$\hat{\theta}_{1}$与$\hat{\theta}_{2}$相互独立，根据方差的性质$\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$（$X$与$Y$相互独立），设$\text{Var}(\hat{\theta}_2) = \sigma^2$，则$\text{Var}(\hat{\theta}_1) = 3\sigma^2$，可得：
   $\text{Var}(c_{1}\hat{\theta}_{1}+c_{2}\hat{\theta}_{2}) = c_{1}^{2}\text{Var}(\hat{\theta}_{1}) + c_{2}^{2}\text{Var}(\hat{\theta}_{2}) = c_{1}^{2}\times 3\sigma^2 + c_{2}^{2}\sigma^2 = (3c_{1}^{2} + c_{2}^{2})\sigma^2$。
3. 将$c_{2} = 1 - c_{1}$代入方差公式并化简：
   把$c_{2} = 1 - c_{1}$代入$3c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$中，得到$3c_{1}^{2} + (1 - c_{1})^{2}$。
   根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$展开$(1 - c_{1})^{2}$得$1 - 2c_{1} + c_{1}^{2}$，则$3c_{1}^{2} + (1 - c_{1})^{2} = 3c_{1}^{2} + 1 - 2c_{1} + c_{1}^{2} = 4c_{1}^{2} - 2c_{1} + 1$。
4. 求方差最小时$c_1$的值：
   令$y = 4c_{1}^{2} - 2c_{1} + 1$，这是一个关于$c_1$的二次函数，二次项系数$4\gt0$，函数图象开口向上，存在最小值。
   对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，则$y = 4c_{1}^{2} - 2c_{1} + 1$的对称轴为$c_{1} = -\frac{-2}{2\times 4} = \frac{1}{4}$。
   所以当$c_{1} = \frac{1}{4}$时，$y$取得最小值。
5. 求出$c_2$的值：
   把$c_{1} = \frac{1}{4}$代入$c_{2} = 1 - c_{1}$，可得$c_{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。