题目
(2)已知函数f(x)=int_(0)^sin xsin t^2dt,g(x)=int_(0)^sin xf(t)dt,则 (A.)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数. (B.)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. (C.)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数. (D.)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数.
(2)已知函数$f(x)=\int_{0}^{\sin x}\sin t^{2}dt$,g(x)=$\int_{0}^{\sin x}f(t)dt$,则 (
A.)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数. (
B.)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. (
C.)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数. (
D.)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数.
A.)f(x)是奇函数,g(x)是奇函数. (
B.)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. (
C.)f(x)是偶函数,g(x)是偶函数. (
D.)f(x)是偶函数,g(x)是奇函数.
题目解答
答案
为了确定函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 的奇偶性，我们需要分别分析它们的性质。
### 步骤1：分析 $ f(x) $ 的奇偶性
函数 $ f(x) $ 定义为：
\[ f(x) = \int_{0}^{\sin x} \sin t^2 \, dt \]
首先，考虑 $ f(-x) $：
\[ f(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} \sin t^2 \, dt \]
由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以：
\[ f(-x) = \int_{0}^{-\sin x} \sin t^2 \, dt \]
为了简化这个积分，我们可以使用换元法。令 $ u = -t $，则 $ du = -dt $。当 $ t = 0 $ 时， $ u = 0 $；当 $ t = -\sin x $ 时， $ u = \sin x $。因此，积分变为：
\[ f(-x) = \int_{0}^{\sin x} \sin (-u)^2 \, (-du) = \int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, (-du) = -\int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, du \]
由于 $ u $ 是积分变量，可以将 $ u $ 换回 $ t $：
\[ f(-x) = -\int_{0}^{\sin x} \sin t^2 \, dt = -f(x) \]
Thus, $ f(x) $ 是奇函数。
### 步骤2：分析 $ g(x) $ 的奇偶性
函数 $ g(x) $ 定义为：
\[ g(x) = \int_{0}^{\sin x} f(t) \, dt \]
首先，考虑 $ g(-x) $：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} f(t) \, dt \]
由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以：
\[ g(-x) = \int_{0}^{-\sin x} f(t) \, dt \]
同样，使用换元法。令 $ u = -t $，则 $ du = -dt $。当 $ t = 0 $ 时， $ u = 0 $；当 $ t = -\sin x $ 时， $ u = \sin x $。因此，积分变为：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(-u) \, (-du) \]
由于 $ f(x) $ 是奇函数， $ f(-u) = -f(u) $。代入得：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} (-f(u)) \, (-du) = \int_{0}^{\sin x} f(u) \, du \]
由于 $ u $ 是积分变量，可以将 $ u $ 换回 $ t $：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(t) \, dt = g(x) \]
Thus, $ g(x) $ 是偶函数。
### 结论
根据以上分析， $ f(x) $ 是奇函数， $ g(x) $ 是偶函数。因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
步骤 1：分析 $ f(x) $ 的奇偶性
函数 $ f(x) $ 定义为：
\[ f(x) = \int_{0}^{\sin x} \sin t^2 \, dt \]
首先，考虑 $ f(-x) $：
\[ f(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} \sin t^2 \, dt \]
由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以：
\[ f(-x) = \int_{0}^{-\sin x} \sin t^2 \, dt \]
为了简化这个积分，我们可以使用换元法。令 $ u = -t $，则 $ du = -dt $。当 $ t = 0 $ 时， $ u = 0 $；当 $ t = -\sin x $ 时， $ u = \sin x $。因此，积分变为：
\[ f(-x) = \int_{0}^{\sin x} \sin (-u)^2 \, (-du) = \int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, (-du) = -\int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, du \]
由于 $ u $ 是积分变量，可以将 $ u $ 换回 $ t $：
\[ f(-x) = -\int_{0}^{\sin x} \sin t^2 \, dt = -f(x) \]
因此，$ f(x) $ 是奇函数。
步骤 2：分析 $ g(x) $ 的奇偶性
函数 $ g(x) $ 定义为：
\[ g(x) = \int_{0}^{\sin x} f(t) \, dt \]
首先，考虑 $ g(-x) $：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} f(t) \, dt \]
由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以：
\[ g(-x) = \int_{0}^{-\sin x} f(t) \, dt \]
同样，使用换元法。令 $ u = -t $，则 $ du = -dt $。当 $ t = 0 $ 时， $ u = 0 $；当 $ t = -\sin x $ 时， $ u = \sin x $。因此，积分变为：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(-u) \, (-du) \]
由于 $ f(x) $ 是奇函数， $ f(-u) = -f(u) $。代入得：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} (-f(u)) \, (-du) = \int_{0}^{\sin x} f(u) \, du \]
由于 $ u $ 是积分变量，可以将 $ u $ 换回 $ t $：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(t) \, dt = g(x) \]
因此，$ g(x) $ 是偶函数。
函数 $ f(x) $ 定义为：
\[ f(x) = \int_{0}^{\sin x} \sin t^2 \, dt \]
首先，考虑 $ f(-x) $：
\[ f(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} \sin t^2 \, dt \]
由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以：
\[ f(-x) = \int_{0}^{-\sin x} \sin t^2 \, dt \]
为了简化这个积分，我们可以使用换元法。令 $ u = -t $，则 $ du = -dt $。当 $ t = 0 $ 时， $ u = 0 $；当 $ t = -\sin x $ 时， $ u = \sin x $。因此，积分变为：
\[ f(-x) = \int_{0}^{\sin x} \sin (-u)^2 \, (-du) = \int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, (-du) = -\int_{0}^{\sin x} \sin u^2 \, du \]
由于 $ u $ 是积分变量，可以将 $ u $ 换回 $ t $：
\[ f(-x) = -\int_{0}^{\sin x} \sin t^2 \, dt = -f(x) \]
因此，$ f(x) $ 是奇函数。
步骤 2：分析 $ g(x) $ 的奇偶性
函数 $ g(x) $ 定义为：
\[ g(x) = \int_{0}^{\sin x} f(t) \, dt \]
首先，考虑 $ g(-x) $：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin(-x)} f(t) \, dt \]
由于 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以：
\[ g(-x) = \int_{0}^{-\sin x} f(t) \, dt \]
同样，使用换元法。令 $ u = -t $，则 $ du = -dt $。当 $ t = 0 $ 时， $ u = 0 $；当 $ t = -\sin x $ 时， $ u = \sin x $。因此，积分变为：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(-u) \, (-du) \]
由于 $ f(x) $ 是奇函数， $ f(-u) = -f(u) $。代入得：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} (-f(u)) \, (-du) = \int_{0}^{\sin x} f(u) \, du \]
由于 $ u $ 是积分变量，可以将 $ u $ 换回 $ t $：
\[ g(-x) = \int_{0}^{\sin x} f(t) \, dt = g(x) \]
因此，$ g(x) $ 是偶函数。