设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及z轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．

考查要点：本题主要考查微分方程的建立与求解，涉及几何应用中的切线方程、面积计算及积分方程的处理。

解题核心思路：

1. 几何分析：确定切线方程与垂线方程，计算三角形面积$S_1$和曲边梯形面积$S_2$。
2. 条件转化：利用条件$2S_1 - S_2 = 1$建立积分方程，通过求导消去积分项，转化为微分方程。
3. 变量替换：通过变量代换将高阶微分方程降阶，分离变量求解。

破题关键点：

• 切线方程与面积计算：正确写出切线方程并求出与x轴的交点，结合垂线确定三角形面积。
• 积分方程求导：对含积分的方程求导，消去积分项，得到微分方程。
• 变量代换：令$y' = p$，将二阶微分方程转化为一阶可分离变量方程。

几何分析与面积计算

1. 切线方程：在点$P(x, y)$处，切线方程为
   $Y - y = y'(x)(X - x).$
   令$Y = 0$，解得切线与x轴的交点为
   $X = x - \frac{y}{y'}.$

2. 垂线方程：垂直于x轴的直线为$X = x$，与x轴交于$(x, 0)$。

3. 三角形面积$S_1$：底边长度为$\frac{y}{y'}$，高度为$y$，故
   $S_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{y'} \cdot y = \frac{y^2}{2y'}.$

4. 曲边梯形面积$S_2$：
   $S_2 = \int_0^x y(t) \, dt.$

建立微分方程

根据条件$2S_1 - S_2 = 1$，代入得：
$\frac{y^2}{y'} - \int_0^x y(t) \, dt = 1.$
对$x$求导消去积分项：
$\frac{2yy'^2 - y^2y''}{y'^2} - y = 0.$
化简得：
$y'' = \frac{(y')^2}{y}.$

求解微分方程

1. 变量代换：令$y' = p$，则$y'' = p \frac{dp}{dy}$，代入方程得：
   $p \frac{dp}{dy} = \frac{p^2}{y} \implies \frac{dp}{p} = \frac{dy}{y}.$

2. 分离变量积分：
   $\ln p = \ln y + C \implies p = Cy \implies y' = Cy.$

3. 求解一阶方程：
   $\frac{dy}{dx} = Cy \implies y = Ke^{Cx}.$
   利用初始条件$y(0) = 1$，得$K = 1$，故
   $y = e^{Cx}.$

4. 确定常数$C$：
   由$y'(0) = C = 1$（隐含于方程推导过程），最终得
   $y = e^x.$