【题目】微分方程 y'=2xy 的通解是（）。A. y=ce^2B. y=e^(x^2)C. y=x^2D. y=Ce^(x^2)

考查要点：本题主要考查一阶可分离变量微分方程的解法，需要掌握变量分离法的基本步骤，并正确进行积分运算。

解题核心思路：将微分方程中的变量分离，分别对y和x进行积分，最后整理得到通解的形式。关键在于正确分离变量和积分后的常数处理。

破题关键点：

1. 将方程改写为$\frac{dy}{dx} = 2xy$，通过分离变量得到$\frac{dy}{y} = 2x dx$。
2. 对两边分别积分，注意积分后引入的常数合并为单个常数。
3. 通过指数运算消去对数，得到通解形式，注意通解中必须包含任意常数C。

分离变量

将原方程$\frac{dy}{dx} = 2xy$改写为：
$\frac{dy}{y} = 2x dx$

两边积分

对左边积分$\int \frac{1}{y} dy$，右边积分$\int 2x dx$：
$\ln|y| = x^2 + C$
（其中$C$为积分常数）

解指数方程

两边取指数函数消去对数：
$y = e^{x^2 + C} = e^C \cdot e^{x^2}$
令$C = e^C$（$C$为任意常数），得通解：
$y = C e^{x^2}$

关键结论：通解必须包含任意常数$C$，因此正确答案为选项D。