题目
【计算题】求过三点 M 1 (2 , - 1 , 4) 、 M 2 ( - 1 , 3 , - 2) 和 M 3 (0 , 2 , 3) 的平面的方程.
【计算题】求过三点 M 1 (2 , - 1 , 4) 、 M 2 ( - 1 , 3 , - 2) 和 M 3 (0 , 2 , 3) 的平面的方程.
题目解答
答案
解: 可以用 作为平面的法线向量 n . 因为 , , 所以 . 根据平面的点法式方程 , 得所求平面的方程为 14( x - 2) + 9( y + 1) - ( z - 4) = 0 , 即 14 x + 9 y - z - 15 = 0 .
解析
步骤 1：确定向量
首先，我们需要确定两个向量，这两个向量可以由给定的三点 M1, M2, M3 构成。我们可以选择向量 M1M2 和 M1M3。
步骤 2：计算向量
计算向量 M1M2 和 M1M3 的坐标。M1M2 = M2 - M1 = (-1 - 2, 3 + 1, -2 - 4) = (-3, 4, -6)。M1M3 = M3 - M1 = (0 - 2, 2 + 1, 3 - 4) = (-2, 3, -1)。
步骤 3：计算法向量
计算向量 M1M2 和 M1M3 的叉积，得到平面的法向量 n。n = M1M2 × M1M3 = (-3, 4, -6) × (-2, 3, -1) = (4*(-1) - (-6)*3, -((-3)*(-1) - (-6)*(-2)), (-3)*3 - 4*(-2)) = (-4 + 18, -3 + 12, -9 + 8) = (14, 9, -1)。
步骤 4：确定平面方程
根据平面的点法式方程，我们可以得到平面的方程。平面的点法式方程为 n·(r - r0) = 0，其中 n 是平面的法向量，r 是平面上任意一点的坐标向量，r0 是平面上已知点的坐标向量。将 n = (14, 9, -1) 和 r0 = M1 = (2, -1, 4) 代入，得到 14(x - 2) + 9(y + 1) - (z - 4) = 0。
步骤 5：化简方程
化简得到的方程，得到最终的平面方程。14x - 28 + 9y + 9 - z + 4 = 0，即 14x + 9y - z - 15 = 0。
首先，我们需要确定两个向量，这两个向量可以由给定的三点 M1, M2, M3 构成。我们可以选择向量 M1M2 和 M1M3。
步骤 2：计算向量
计算向量 M1M2 和 M1M3 的坐标。M1M2 = M2 - M1 = (-1 - 2, 3 + 1, -2 - 4) = (-3, 4, -6)。M1M3 = M3 - M1 = (0 - 2, 2 + 1, 3 - 4) = (-2, 3, -1)。
步骤 3：计算法向量
计算向量 M1M2 和 M1M3 的叉积，得到平面的法向量 n。n = M1M2 × M1M3 = (-3, 4, -6) × (-2, 3, -1) = (4*(-1) - (-6)*3, -((-3)*(-1) - (-6)*(-2)), (-3)*3 - 4*(-2)) = (-4 + 18, -3 + 12, -9 + 8) = (14, 9, -1)。
步骤 4：确定平面方程
根据平面的点法式方程，我们可以得到平面的方程。平面的点法式方程为 n·(r - r0) = 0，其中 n 是平面的法向量，r 是平面上任意一点的坐标向量，r0 是平面上已知点的坐标向量。将 n = (14, 9, -1) 和 r0 = M1 = (2, -1, 4) 代入，得到 14(x - 2) + 9(y + 1) - (z - 4) = 0。
步骤 5：化简方程
化简得到的方程，得到最终的平面方程。14x - 28 + 9y + 9 - z + 4 = 0，即 14x + 9y - z - 15 = 0。