【计算题】求过三点 M 1 (2 , - 1 , 4) 、 M 2 ( - 1 , 3 , - 2) 和 M 3 (0 , 2 , 3) 的平面的方程.

考查要点：本题主要考查如何利用三点坐标确定平面方程，核心在于找到平面的法向量。

解题思路：

1. 确定两个平面内的向量：通过三点坐标构造两个向量（如$\overrightarrow{M_1M_2}$和$\overrightarrow{M_1M_3}$）。
2. 计算法向量：对上述两个向量进行叉乘运算，得到平面的法向量$\mathbf{n}$。
3. 代入点法式方程：选择其中一个已知点（如$M_1$），代入点法式方程$\mathbf{n} \cdot (X - X_0) = 0$，展开整理即可。

关键点：叉乘运算的正确性直接影响法向量的准确性，需注意分量计算的符号。

步骤1：构造平面内的两个向量

• 向量$\overrightarrow{M_1M_2}$的坐标为：
  $M_2 - M_1 = (-1-2, 3-(-1), -2-4) = (-3, 4, -6)$
• 向量$\overrightarrow{M_1M_3}$的坐标为：
  $M_3 - M_1 = (0-2, 2-(-1), 3-4) = (-2, 3, -1)$

步骤2：计算法向量$\mathbf{n}$

对$\overrightarrow{M_1M_2}$和$\overrightarrow{M_1M_3}$进行叉乘：
$\mathbf{n} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\-3 & 4 & -6 \\-2 & 3 & -1\end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot (-1) - (-6) \cdot 3) - \mathbf{j}((-3) \cdot (-1) - (-6) \cdot (-2)) + \mathbf{k}((-3) \cdot 3 - 4 \cdot (-2)) \\ = \mathbf{i}(14) - \mathbf{j}(9) + \mathbf{k}(-1) = (14, -9, -1)$

步骤3：代入点法式方程

选择点$M_1(2, -1, 4)$，代入点法式方程：
$14(x - 2) + 9(y + 1) - 1(z - 4) = 0$
展开并整理：
$14x - 28 + 9y + 9 - z + 4 = 0 \implies 14x + 9y - z - 15 = 0$