题目
2.将下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来.-|||-(1) i,-|||-(2) -1,-|||-(3) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_347b5eb17d1f0f070fdf3156ba0e6541.jpg+isqrt (3),-|||-(4) https:/img.zuoyebang.cc/zyb_347b5eb17d1f0f070fdf3156ba0e6541.jpg-cos alpha +isin alpha (α是实常数),-|||-(5) z3,-|||-(6) ^1+1.-|||-(7) dfrac (1-i)(1+i).
题目解答
答案
本题考查复数的代数式、三角式和指数式表示，属于基础题。
(1)代数式：$i$
三角式：$\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}$
指数式：$e^{\frac{\pi}{2} i}$
(2)代数式：$-1$
三角式：$\cos \pi+i \sin \pi$
指数式：$e^{\pi i}$
(3)代数式：$1+\sqrt{3} i$
三角式：$2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)$
指数式：$2 e^{\frac{\pi}{3} i}$
(4)代数式：$1-\cos \alpha+i \sin \alpha$
三角式：$2 \sin \frac{\alpha}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)\right]$
指数式：$2 \sin \frac{\alpha}{2} e^{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right) i}$
(5)代数式：$z^{3}$
三角式：$r^{3}\left(\cos 3 \theta+i \sin 3 \theta\right)$
指数式：$r^{3} e^{3 \theta i}$
(6)代数式：$e^{1} \cos 1+i e^{1} \sin 1$
三角式：$e^{1}\left(\cos (2 k \pi+1)+i \sin (2 k \pi+1)\right)$
指数式：$e^{1} e^{(2 k \pi+1) i}$
(7)代数式：$-i$
三角式：$\cos \frac{3 \pi}{2}+i \sin \frac{3 \pi}{2}$
指数式：$e^{\frac{3 \pi}{2} i}$
(1)代数式：$i$
三角式：$\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}$
指数式：$e^{\frac{\pi}{2} i}$
(2)代数式：$-1$
三角式：$\cos \pi+i \sin \pi$
指数式：$e^{\pi i}$
(3)代数式：$1+\sqrt{3} i$
三角式：$2\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)$
指数式：$2 e^{\frac{\pi}{3} i}$
(4)代数式：$1-\cos \alpha+i \sin \alpha$
三角式：$2 \sin \frac{\alpha}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)\right]$
指数式：$2 \sin \frac{\alpha}{2} e^{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right) i}$
(5)代数式：$z^{3}$
三角式：$r^{3}\left(\cos 3 \theta+i \sin 3 \theta\right)$
指数式：$r^{3} e^{3 \theta i}$
(6)代数式：$e^{1} \cos 1+i e^{1} \sin 1$
三角式：$e^{1}\left(\cos (2 k \pi+1)+i \sin (2 k \pi+1)\right)$
指数式：$e^{1} e^{(2 k \pi+1) i}$
(7)代数式：$-i$
三角式：$\cos \frac{3 \pi}{2}+i \sin \frac{3 \pi}{2}$
指数式：$e^{\frac{3 \pi}{2} i}$
解析
本题主要考查复数的三种表示形式：代数式（直角坐标形式$a+bi$）、三角式（$r(\cos\theta+i\sin\theta)$）和指数式（$re^{i\theta}$），核心是利用复数的模$r=\sqrt{a^2+b^2}$、辐角$\theta=\arg(z)$（主值范围$[0,2\pi)$）及欧拉公式$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$进行转换。
(1) $i$
- 代数式：直接为$i$（$a=0,b=1$）。
- 三角式：模$r=\sqrt{0^2+1^2}=1$，辐角$\theta=\frac{\pi}{2}$，故三角式为$\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$。
- 指数式：由欧拉公式得$e^{\frac{\pi}{2}i}$。
(2) $-1$
- 代数式：直接为$-1$（$a=-1,b=0$）。
- 三角式：模$r=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1$，辐角$\theta=\pi$，故三角式为$\cos\pi+i\sin\pi$。
- 指数式：由欧拉公式得$e^{\\pi\pi i$。
(3) $1+i\sqrt{3}$
- 代数式：直接为$1+\sqrt{3}i$（$a=1,b=\sqrt{3}$）。
- 三角式：模$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$，辐角$\theta=\arctan\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{\pi}{3}$，故三角式为$2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$。
- 指数式：由欧拉公式得$2e^{\frac{\pi}{3}i}$。
(4) $1-\cos\alpha+i\sin\alpha$
- 代数式：直接为$1-\cos\alpha+i\sin\alpha$。
- 三角式：利用三角恒等变换：$1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}$，$\sin\alpha=2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$，故模$r=\sqrt{(2\sin^2\frac{\alpha}{2})^2+(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})^2}=2\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|$，辐角$\theta=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}$（假设$\sin\frac{\alpha}{2}\geq0$，取主值），故三角式为$2\sin\frac{\alpha}{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)\right]$。
- 指数式：由欧拉公式得$2\sin\frac{\alpha}{2}e^{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)i}$。
(5) $z^3$
设$z$的三角式为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，指数式为$re^{i\theta}$：
- 代数式：若$z=x+iy$，则$z^3=(x+iy)^3$（未展开，保留$z^3$）。
- 三角式：由棣莫弗公式$(r(\cos\theta+i\sin\theta))^3=r^3(\cos3\theta+i\sin3\theta)$。
- 指数式：$(re^{i\theta})^3=r^3e^{3\theta i}$。
(6) $e^{1+i}$
- 代数式：$e^{1+i}=e^1\cdot e^{i1}=e(\cos1+i\sin1)$（欧拉公式）。
- 三角式：模$r=e$，辐角$\theta=1+2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$，主值取$1$），故三角式为$e(\cos(2k\pi+1)+i\sin(2k\pi+1))$。
- 指数式：$e\cdot e^{(2k\pi+1)i}$。
(7) $\frac{1-i}{1+i}$
化简：$\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{2}=\frac{-2i}{2}=-i$。
- 代数式：$-i$（$a=0,b=-1$）。
- 三角式：模$r=1$，辐角$\theta=\frac{3\pi}{2}$，故三角式为$\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{需要需要“走运”的人，只要他坚持做自己热爱的事，并且愿意为此付出努力，就一定能够在某个领域取得成就。\frac{3\pi}{2}i$。