题目
设 _(1)=(a)_(1)+(a)_(2) , _(2)=(a)_(2)+(a)_(3),-|||-_(3)=(a)_(3)+(a)_(4) , _(4)=(a)_(4)+(a)_(1), 证明向量组-|||-b1, b2,b3,b4线性相关.
题目解答
答案
向量组b1,b2,b3,b4线性相关
解析
步骤 1：定义向量组
定义向量组 ${b}_{1}={a}_{1}+{a}_{2}$ , ${b}_{2}={a}_{2}+{a}_{3}$ , ${b}_{3}={a}_{3}+{a}_{4}$ , ${b}_{4}={a}_{4}+{a}_{1}$ 。
步骤 2：寻找线性组合
考虑向量组 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$, ${b}_{4}$ 的线性组合，即寻找一组不全为零的数 ${k}_{1}$, ${k}_{2}$, ${k}_{3}$, ${k}_{4}$ 使得 ${k}_{1}{b}_{1}+{k}_{2}{b}_{2}+{k}_{3}{b}_{3}+{k}_{4}{b}_{4}=0$。
步骤 3：构造线性组合
构造线性组合 ${b}_{1}-{b}_{2}+{b}_{3}-{b}_{4}$，即 ${k}_{1}=1$, ${k}_{2}=-1$, ${k}_{3}=1$, ${k}_{4}=-1$，代入 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$, ${b}_{4}$ 的定义，得到：
$({a}_{1}+{a}_{2})-({a}_{2}+{a}_{3})+({a}_{3}+{a}_{4})-({a}_{4}+{a}_{1})=0$。
步骤 4：简化线性组合
简化上述线性组合，得到：
${a}_{1}+{a}_{2}-{a}_{2}-{a}_{3}+{a}_{3}+{a}_{4}-{a}_{4}-{a}_{1}=0$，
即 $0=0$，说明存在一组不全为零的数 ${k}_{1}$, ${k}_{2}$, ${k}_{3}$, ${k}_{4}$ 使得 ${k}_{1}{b}_{1}+{k}_{2}{b}_{2}+{k}_{3}{b}_{3}+{k}_{4}{b}_{4}=0$。
步骤 5：结论
根据线性相关性的定义，向量组 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$, ${b}_{4}$ 线性相关。
定义向量组 ${b}_{1}={a}_{1}+{a}_{2}$ , ${b}_{2}={a}_{2}+{a}_{3}$ , ${b}_{3}={a}_{3}+{a}_{4}$ , ${b}_{4}={a}_{4}+{a}_{1}$ 。
步骤 2：寻找线性组合
考虑向量组 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$, ${b}_{4}$ 的线性组合，即寻找一组不全为零的数 ${k}_{1}$, ${k}_{2}$, ${k}_{3}$, ${k}_{4}$ 使得 ${k}_{1}{b}_{1}+{k}_{2}{b}_{2}+{k}_{3}{b}_{3}+{k}_{4}{b}_{4}=0$。
步骤 3：构造线性组合
构造线性组合 ${b}_{1}-{b}_{2}+{b}_{3}-{b}_{4}$，即 ${k}_{1}=1$, ${k}_{2}=-1$, ${k}_{3}=1$, ${k}_{4}=-1$，代入 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$, ${b}_{4}$ 的定义，得到：
$({a}_{1}+{a}_{2})-({a}_{2}+{a}_{3})+({a}_{3}+{a}_{4})-({a}_{4}+{a}_{1})=0$。
步骤 4：简化线性组合
简化上述线性组合，得到：
${a}_{1}+{a}_{2}-{a}_{2}-{a}_{3}+{a}_{3}+{a}_{4}-{a}_{4}-{a}_{1}=0$，
即 $0=0$，说明存在一组不全为零的数 ${k}_{1}$, ${k}_{2}$, ${k}_{3}$, ${k}_{4}$ 使得 ${k}_{1}{b}_{1}+{k}_{2}{b}_{2}+{k}_{3}{b}_{3}+{k}_{4}{b}_{4}=0$。
步骤 5：结论
根据线性相关性的定义，向量组 ${b}_{1}$, ${b}_{2}$, ${b}_{3}$, ${b}_{4}$ 线性相关。