题目
若A和B都是n阶非零矩阵，矩阵A存在一个非零n-1阶子式，且AB=O，则秩r(A)= ( ).A. 1B. n-2C. n-1D. n
若A和B都是n阶非零矩阵，矩阵A存在一个非零n-1阶子式，且AB=O，则秩r(A)= ( ).
A. 1
B. n-2
C. n-1
D. n
题目解答
答案
C. n-1
解析
步骤 1：确定矩阵A的秩下限
由于矩阵A存在一个非零的n-1阶子式，根据矩阵秩的定义，矩阵A的秩至少为n-1，即$r(A) \geq n-1$。
步骤 2：利用矩阵乘积的秩性质
根据矩阵乘积的秩性质，对于两个矩阵A和B，有$r(A) + r(B) \leq n$。由于题目中给出AB=O，即矩阵A和B的乘积为零矩阵，这进一步说明了矩阵A和B的秩之和不超过n。
步骤 3：确定矩阵B的秩下限
由于矩阵B是非零矩阵，根据矩阵秩的定义，矩阵B的秩至少为1，即$r(B) \geq 1$。
步骤 4：结合步骤2和步骤3，确定矩阵A的秩
结合步骤2和步骤3，我们有$r(A) + r(B) \leq n$，且$r(B) \geq 1$。因此，$r(A) \leq n-1$。结合步骤1中得到的$r(A) \geq n-1$，可以确定$r(A) = n-1$。
由于矩阵A存在一个非零的n-1阶子式，根据矩阵秩的定义，矩阵A的秩至少为n-1，即$r(A) \geq n-1$。
步骤 2：利用矩阵乘积的秩性质
根据矩阵乘积的秩性质，对于两个矩阵A和B，有$r(A) + r(B) \leq n$。由于题目中给出AB=O，即矩阵A和B的乘积为零矩阵，这进一步说明了矩阵A和B的秩之和不超过n。
步骤 3：确定矩阵B的秩下限
由于矩阵B是非零矩阵，根据矩阵秩的定义，矩阵B的秩至少为1，即$r(B) \geq 1$。
步骤 4：结合步骤2和步骤3，确定矩阵A的秩
结合步骤2和步骤3，我们有$r(A) + r(B) \leq n$，且$r(B) \geq 1$。因此，$r(A) \leq n-1$。结合步骤1中得到的$r(A) \geq n-1$，可以确定$r(A) = n-1$。