题目

判断极限lim _(xarrow 0)dfrac (sin x-tan x)(arctan ({e)^(x^3)-1)}=1 A .√B .×

判断

极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x-\tan x}{\arctan(e^{x^3}-1)}=1$

A .√

B .×

题目解答

答案：B

由等价无穷小替换公式可得：

$x\rightarrow0,e^x-1\sim x,\arctan x\sim x$

则 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x-\tan x}{\arctan(e^{x^3}-1)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x-\tan x}{e^{x^3}-1}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$ (运用洛必达法则)

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-\sec^2x}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\sin x-2\sec^2x\tan x}{6x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{-\cos x-4\sec^2x\tan^2x-2\sec^4x}{6}$

$=\frac{-1-0-2}{6}=-\frac{1}{2}$

则题目计算错误。