6、欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？

步骤 1：定义变量
设底边的边长为 \(x\)，高为 \(h\)，用材料为 \(y\)。由已知条件，容器的底为正方形，容积为 108 立方米，因此有 \(x^2h = 108\)。

步骤 2：建立用料函数
容器的表面积（即用料）由底面和四个侧面组成。底面面积为 \(x^2\)，每个侧面面积为 \(xh\)，因此总用料 \(y = x^2 + 4xh\)。

步骤 3：用容积条件消去 \(h\)
由 \(x^2h = 108\)，解得 \(h = \frac{108}{x^2}\)。将 \(h\) 的表达式代入用料函数 \(y\) 中，得到 \(y = x^2 + 4x\left(\frac{108}{x^2}\right) = x^2 + \frac{432}{x}\)。

步骤 4：求导数并找极值点
对 \(y\) 关于 \(x\) 求导，得到 \(y' = 2x - \frac{432}{x^2}\)。令 \(y' = 0\)，解得 \(2x^3 = 432\)，即 \(x^3 = 216\)，从而 \(x = 6\)。这是唯一驻点。

步骤 5：验证极值点
对 \(y'\) 再求导，得到 \(y'' = 2 + \frac{864}{x^3}\)。将 \(x = 6\) 代入 \(y''\)，得到 \(y'' = 2 + \frac{864}{216} = 6 > 0\)，说明 \(x = 6\) 是函数的极小值点。

步骤 6：计算高 \(h\)
将 \(x = 6\) 代入 \(h = \frac{108}{x^2}\)，得到 \(h = \frac{108}{36} = 3\)。