题目

已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，A.D=2，CD=2B.D．当((AC.))/((AB))取得最小值时，BD.= ____ ．

已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，
A.D=2，CD=2
B.D．当$\frac{{A
C.}}{{AB}}$取得最小值时，B
D.= ____ ．

题目解答

答案

解：设BD=x，CD=2x，
在三角形ACD中，b²=4x²+4-2•2x•2•cos60°，可得：b²=4x²-4x+4，
在三角形ABD中，c²=x²+4-2•x•2•cos120°，可得：c²=x²+2x+4，
要使得$\frac{AC}{AB}$最小，即$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$最小，
$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\frac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}$，
其中$x+1+\frac{3}{x+1}≥2\sqrt{3}$，此时$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}≥4-2\sqrt{3}$，
当且仅当$x+1=\sqrt{3}$时，即$x=\sqrt{3}-1$时取等号，
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

解析

考查要点：本题主要考查三角形中的余弦定理、分式函数的最值求解，以及利用不等式（如均值不等式）求极值的能力。

解题核心思路：

设定变量：将BD设为变量$x$，利用已知条件CD=2，确定BC的长度为$x+2$。
应用余弦定理：在△ABD和△ACD中分别应用余弦定理，将AC和AB表示为$x$的函数。
构造分式函数：将$\frac{AC}{AB}$的平方表示为$\frac{b^2}{c^2}$，转化为分式函数求最小值问题。
化简与求极值：通过代数变形，将分式转化为便于应用不等式的形式，利用均值不等式求最小值，并确定取等条件。

破题关键点：

角度关系：明确∠ADB=120°，则相邻角∠ADC=60°（因共线）。
分式最值转化：将分式$\frac{4x^2-4x+4}{x^2+2x+4}$变形为$4-\frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}$，利用均值不等式求最小值。

设定变量：设BD=$x$，则CD=2，BC=$x+2$。

在△ABD中应用余弦定理：
已知AD=2，BD=$x$，∠ADB=120°，则
$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos 120^\circ = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot (-\frac{1}{2}) = x^2 + 2x + 4.$

在△ACD中应用余弦定理：
已知AD=2，CD=2，∠ADC=60°（因∠ADB=120°，共线补角），则
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos 60^\circ = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4x^2 - 4x + 4.$

构造分式函数：
目标是最小化$\frac{AC}{AB}$，即最小化$\frac{AC^2}{AB^2}$：
$\frac{AC^2}{AB^2} = \frac{4x^2 - 4x + 4}{x^2 + 2x + 4}.$

化简分式：
将分子和分母展开并变形：
$\frac{4x^2 - 4x + 4}{x^2 + 2x + 4} = 4 - \frac{12}{x+1+\frac{3}{x+1}}.$

应用均值不等式：
令$t = x+1$，则分母为$t + \frac{3}{t}$，根据均值不等式：
$t + \frac{3}{t} \geq 2\sqrt{3},$
当且仅当$t = \sqrt{3}$，即$x = \sqrt{3} - 1$时取等号。此时分式取得最小值$4 - 2\sqrt{3}$。