某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？ （ ）A. 7B. 9C. 10D. 12

考查要点：本题属于排列组合中的分配问题，重点考查在有限制条件下使用“隔板法”的应用能力。

解题核心思路：
题目要求将30份材料分给3个部门，每个部门至少9份。解题的关键在于先满足最低分配要求，再处理剩余部分。

1. 初步分配：每个部门先分到9份，共消耗27份，剩余3份。
2. 剩余分配：将剩下的3份自由分配给3个部门（允许部门分到0份），转化为非负整数解的组合问题。
3. 公式应用：利用隔板法公式计算剩余分配的组合数。

破题关键点：

• 转化问题：通过“先满足最低限制”将原问题转化为无限制的分配问题。
• 正确选择组合公式：剩余材料数为$n=3$，部门数$k=3$，组合数为$\mathrm{C}(n+k-1, k-1)$。

步骤1：初步分配
每个部门至少分9份，因此先给每个部门分配9份，共消耗：
$9 \times 3 = 27 \text{份}$
剩余材料数为：
$30 - 27 = 3 \text{份}$

步骤2：剩余分配
将剩余的3份自由分配给3个部门（允许分到0份），等价于求非负整数解的数目：
$x_1 + x_2 + x_3 = 3$
根据隔板法公式，组合数为：
$\mathrm{C}(3 + 3 - 1, 3 - 1) = \mathrm{C}(5, 2)$

步骤3：计算组合数
$\mathrm{C}(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

结论：共有10种不同的发放方法。