当 x arrow 0 时，下列无穷小量中阶数最高的是 ( )(A) int_(x^2)^x^3 sqrt(1 - sqrt(cos t)) , dt(B) int_(sin x)^2x sin t^2 , dt(C) int_(x)^sin x (e^t^2 - 1) , dt(D) int_(0)^1 - cos x ln (1 + sqrt(t)) , dt

我们要比较当 $ x \to 0 $ 时，四个积分表达式作为无穷小量的阶数，即它们趋近于 0 的速度。阶数越高，趋近于 0 的速度越慢（或者说，无穷小量越“大”）。

思路分析：

对每个选项，我们考虑其积分形式：

$\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt$

当 $ x \to 0 $ 时，积分区间 $[a(x), b(x)]$ 收缩到一个点（通常为 0），且 $ f(t) $ 在 $ t \to 0 $ 时有某种渐近展开式。我们可以通过泰勒展开或等价无穷小的方法，来估计积分的阶数。

选项 (A)：

$\int_{x^2}^{x^3} \sqrt{1 - \sqrt{\cos t}} \, dt$

第一步：分析被积函数在 $ t \to 0 $ 的行为

我们先对被积函数做泰勒展开：

• $\cos t \approx 1 - \frac{t^2}{2}$
• $\sqrt{\cos t} \approx \sqrt{1 - \frac{t^2}{2}} \approx 1 - \frac{t^2}{4}$
• 所以：
  $1 - \sqrt{\cos t} \approx \frac{t^2}{4} \Rightarrow \sqrt{1 - \sqrt{\cos t}} \approx \sqrt{\frac{t^2}{4}} = \frac{|t|}{2}$

由于 $ t \in [x^2, x^3] $，而 $ x \to 0 $，所以 $ t > 0 $，可略去绝对值：

$\sqrt{1 - \sqrt{\cos t}} \approx \frac{t}{2}$

第二步：积分估计

$\int_{x^2}^{x^3} \frac{t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int_{x^2}^{x^3} t \, dt = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{x^2}^{x^3} = \frac{1}{4} \left( x^6 - x^4 \right)$

所以这个积分的阶数为 $ x^4 $。

选项 (B)：

$\int_{\sin x}^{2x} \sin t^2 \, dt$

第一步：被积函数在 $ t \to 0 $ 的行为

• $\sin t^2 \approx t^2$

第二步：积分区间估计

• $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} \approx x$，当 $ x \to 0 $
• 所以积分区间为 $ [x, 2x] $

第三步：积分估计

$\int_{x}^{2x} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_x^{2x} = \frac{(2x)^3}{3} - \frac{x^3}{3} = \frac{8x^3 - x^3}{3} = \frac{7x^3}{3}$

所以这个积分的阶数为 $ x^3 $

选项 (C)：

$\int_{x}^{\sin x} (e^{t^2} - 1) \, dt$

第一步：被积函数在 $ t \to 0 $ 的行为

• $ e^{t^2} - 1 \approx t^2 $

第二步：积分区间估计

• $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} \approx x$，当 $ x \to 0 $
• 所以积分区间为 $ [x, x - \frac{x^3}{6}] \approx [x, x] $，长度为 $ \sim x^3 $

第三步：积分估计

• 被积函数 $ \sim t^2 \approx x^2 $
• 区间长度 $ \sim x^3 $
• 所以积分估计为：
  $\sim x^2 \cdot x^3 = x^5$

所以这个积分的阶数为 $ x^5 $

选项 (D)：

$\int_{0}^{1 - \cos x} \ln(1 + \sqrt{t}) \, dt$

第一步：积分上限估计

• $ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \Rightarrow 1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} $

第二步：被积函数在 $ t \to 0 $ 的行为

• $ \ln(1 + \sqrt{t}) \approx \sqrt{t} $

第三步：积分估计

$\int_0^{\frac{x^2}{2}} \sqrt{t} \, dt = \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_0^{\frac{x^2}{2}} = \frac{2}{3} \left( \frac{x^2}{2} \right)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{2^{3/2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{2\sqrt{2}} = \frac{x^3}{3\sqrt{2}}$

所以这个积分的阶数为 $ x^3 $

总结：

选项	阶数估计
(A)	$ x^4 $
(B)	$ x^3 $
(C)	$ x^5 $
(D)	$ x^3 $

最终结论：

阶数最高的是 (C)，即：

$\boxed{\text{(C)}}$