题目

利用极限存在准则证明:(1) lim _(narrow infty )sqrt (1+dfrac {1)(n)}=1

利用极限存在准则证明:

(1) $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1$

题目解答

答案

证明 $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1$

可先对 $\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}$ 进行放缩

而 $1<\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}<\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}$

（1） $\lim_{n\rightarrow\infty}1=1$

（2） $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}=\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n-1}\right)^{\frac{1}{2}}$

$\frac{\infty}{\infty}$ 型极限可以使用洛必达,而根据数列与函数的子列与母列的关系

$\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n-1}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1}\right)^{\frac{1}{2}}=1$

根据夹逼准则可知， $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1$

解析

考查要点：本题主要考查利用夹逼准则（极限存在准则之一）证明数列极限的方法，以及对数列放缩技巧的掌握。

解题核心思路：

构造不等式链：将原式$\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}$夹在两个易于求极限的数列之间。
证明上下界极限相同：通过变形和化简，分别求出上下界的极限值，并验证它们的极限均为$1$。
应用夹逼准则：根据夹逼准则，原数列的极限也为$1$。

破题关键点：

分母放缩：将分母$n$适当放大为$n-1$，构造更大的分数$\dfrac{n+1}{n-1}$，从而得到上界。
极限化简：对上界$\sqrt{\dfrac{n+1}{n-1}}$进行变形，利用$\dfrac{n+1}{n-1} = 1 + \dfrac{2}{n-1}$化简极限。

第（1）题

步骤1：变形原式

将原式改写为：
$\sqrt{1+\dfrac{1}{n}} = \sqrt{\dfrac{n+1}{n}}.$

步骤2：构造不等式链

通过分母放缩，构造上下界：
$1 < \sqrt{\dfrac{n+1}{n}} < \sqrt{\dfrac{n+1}{n-1}}.$

步骤3：求下界极限

显然，当$n \rightarrow \infty$时，下界$1$的极限为$1$。

步骤4：求上界极限

对上界$\sqrt{\dfrac{n+1}{n-1}}$进行变形：
$\dfrac{n+1}{n-1} = 1 + \dfrac{2}{n-1}.$
当$n \rightarrow \infty$时，$\dfrac{2}{n-1} \rightarrow 0$，因此：
$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\dfrac{n+1}{n-1}} = \sqrt{1 + 0} = 1.$

步骤5：应用夹逼准则

由于上下界的极限均为$1$，根据夹逼准则，原数列的极限也为$1$。