lim_(x arrow ∞) (x^2+x)/(x^4-3x^2+1)

考查要点：本题主要考查分式函数在无穷远处的极限的求解方法，重点在于理解分子和分母的最高次项对极限结果的影响。

解题核心思路：
当$x \rightarrow ∞$时，分式的极限由分子和分母的最高次项的次数和系数决定。若分母的最高次数高于分子，则极限为$0$；若次数相同，则极限为最高次项系数之比；若分子次数更高，则极限为$∞$或$-∞$。本题中，分母的最高次数（4次）高于分子（2次），因此极限为$0$。

破题关键点：

1. 比较分子分母的最高次数，直接判断极限结果。
2. 若使用洛必达法则，需注意连续应用的条件（每次求导后仍满足$\frac{∞}{∞}$形式）。

方法一：比较最高次项法

1. 分子：$x^2 + x$的最高次项为$x^2$（次数为2）。
2. 分母：$x^4 - 3x^2 + 1$的最高次项为$x^4$（次数为4）。
3. 次数对比：分母次数（4）高于分子次数（2），因此当$x \rightarrow ∞$时，分母增长速度远快于分子，分式整体趋向于$0$。

方法二：洛必达法则

1. 第一次求导：
   分子导数：$\frac{d}{dx}(x^2 + x) = 2x + 1$
   分母导数：$\frac{d}{dx}(x^4 - 3x^2 + 1) = 4x^3 - 6x$
   原式变为：$\lim_{x \rightarrow ∞} \frac{2x + 1}{4x^3 - 6x}$
2. 第二次求导：
   分子导数：$\frac{d}{dx}(2x + 1) = 2$
   分母导数：$\frac{d}{dx}(4x^3 - 6x) = 12x^2 - 6$
   原式变为：$\lim_{x \rightarrow ∞} \frac{2}{12x^2 - 6}$
3. 极限计算：
   当$x \rightarrow ∞$时，分母$12x^2 - 6 \rightarrow ∞$，分子为常数$2$，因此极限为$0$。