解非线性方程 f ( x)?=0 的牛顿迭代法的收敛阶为( )。A. 线性收敛B. 局部线性收敛C. 平方收敛D. 局部平方收敛

牛顿迭代法是求解非线性方程的重要数值方法，其核心思想是通过切线近似逐步逼近方程的根。本题考查牛顿迭代法的收敛阶，需明确以下关键点：

1. 收敛阶的定义：描述迭代法误差随迭代次数减少的速度，常见有线性收敛（阶1）、平方收敛（阶2）等。
2. 局部收敛性：牛顿法的高阶收敛性（平方收敛）仅在根附近成立，需初始猜测足够接近真实解。
3. 前提条件：函数需满足二阶可导且导数在根处非零，否则收敛性可能退化。

综上，牛顿迭代法在满足条件时具有局部平方收敛特性。

牛顿迭代法的收敛性分析

1. 基本迭代公式：
   牛顿法的迭代公式为：
   $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$
   其中$f(x)$在根$x^*$处满足$f(x^*)=0$且$f'(x^*) \neq 0$。

2. 误差分析：
   假设当前迭代点$x_k$与根$x^*$的误差为$e_k = x_k - x^*$，则迭代误差满足：
   $e_{k+1} \approx \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)} e_k^2$
   误差与$e_k^2$成正比，说明收敛阶为2。

3. 局部性说明：
   平方收敛性仅在根的邻域内有效，若初始猜测过远，可能不收敛或收敛变慢。因此，牛顿法的收敛性需限定为局部。