37.(2023,3题,5分)已知x_{n)},y_{n)}满足：x_(1)=y_(1)=(1)/(2),x_(n+1)=sin x_(n),y_(n+1)=y_(n)^2(n=1,2,...),则当n→∞时，A. x_(n)是y_(n)的高阶无穷小.B. y_(n)是x_(n)的高阶无穷小.C. x_(n)与y_(n)是等价无穷小.D. x_(n)与y_(n)是同阶但不等价的无穷小.

考查要点：本题主要考查递推数列的收敛速度比较，涉及无穷小阶的判断。关键在于分析两个数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$的渐进行为，确定它们的收敛速率关系。

解题思路：

1. 分析$\{x_n\}$的收敛速度：利用$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$展开，推导出$x_n$的渐近表达式，发现其收敛速度为$\frac{1}{\sqrt{n}}$。
2. 分析$\{y_n\}$的收敛速度：通过递推公式$y_{n+1} = y_n^2$，得出通项$y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n-1}}$，其收敛速度为指数级衰减。
3. 比较两数列收敛速度：通过比值$\frac{y_n}{x_n}$的极限判断阶的高低，指数衰减远快于多项式衰减，故$y_n$是$x_n$的高阶无穷小。

数列$\{x_n\}$的分析

1. 递推关系：$x_{n+1} = \sin x_n$。
2. 泰勒展开近似：当$x_n$较小时，$\sin x_n \approx x_n - \frac{x_n^3}{6}$，故$x_{n+1} \approx x_n - \frac{x_n^3}{6}$。
3. 差分方程近似：将递推关系视为差分方程$\Delta x \approx -\frac{x^3}{6}$，解得$x_n \approx \sqrt{\frac{3}{n}}$（当$n$较大时）。

数列$\{y_n\}$的分析

1. 递推关系：$y_{n+1} = y_n^2$。
2. 通项公式：递推得$y_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n-1}}$，即指数级衰减。

收敛速度比较

1. 比值计算：$\frac{y_n}{x_n} \approx \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n-1}}}{\sqrt{\frac{3}{n}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n-1}} \cdot \sqrt{\frac{n}{3}}$。
2. 极限分析：指数函数$\left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n-1}}$的衰减速度远快于$\sqrt{n}$的增长，故$\lim_{n \to \infty} \frac{y_n}{x_n} = 0$，说明$y_n$是$x_n$的高阶无穷小。