题目
五、应用题(本题8分)有一个长和宽分别为8m和5m的长方形纸板,四个角各减去相同的小正方形,然后把四边折成一个无盖的长方体盒子,问当剪去的小正方形的边长为多少时,盒子的体积最大?
五、应用题(本题8分)有一个长和宽分别为8m和5m的长方形纸板,四个角各减去相同的小正方形,然后把四边折成一个无盖的长方体盒子,问当剪去的小正方形的边长为多少时,盒子的体积最大?
题目解答
答案
本题考查了长方体的体积公式，考查了二次函数的性质，属于基础题．
设剪去的小正方形的边长为x，盒子的体积为V，根据题意得到V=(8-2x)(5-2x)x，再求导，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
设剪去的小正方形的边长为$x$，盒子的体积为$V$，
则$V=\left ( {8-2x} \right )\left ( {5-2x} \right )x=4{x}^{3}-26{x}^{2}+40x$，$\left ( {0\lt x\lt \dfrac {5} {2}} \right )$
$\therefore V'=12{x}^{2}-52x+40=4\left ( {3x-10} \right )\left ( {x-1} \right )$，
令$V'=0$，得$x=1$或$x=\dfrac {10} {3}($舍去$)$，
当$0\lt x\lt 1$时，$V'\gt 0$，当$1\lt x\lt \dfrac {5} {2}$时，$V'\lt 0$，
$\therefore $当$x=1$时，$V$取得极大值，也是最大值，
$\therefore $当剪去的小正方形的边长为$1m$时，盒子的体积最大.
综上所述，结论是：当剪去的小正方形的边长为$1m$时，盒子的体积最大.
设剪去的小正方形的边长为x，盒子的体积为V，根据题意得到V=(8-2x)(5-2x)x，再求导，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
设剪去的小正方形的边长为$x$，盒子的体积为$V$，
则$V=\left ( {8-2x} \right )\left ( {5-2x} \right )x=4{x}^{3}-26{x}^{2}+40x$，$\left ( {0\lt x\lt \dfrac {5} {2}} \right )$
$\therefore V'=12{x}^{2}-52x+40=4\left ( {3x-10} \right )\left ( {x-1} \right )$，
令$V'=0$，得$x=1$或$x=\dfrac {10} {3}($舍去$)$，
当$0\lt x\lt 1$时，$V'\gt 0$，当$1\lt x\lt \dfrac {5} {2}$时，$V'\lt 0$，
$\therefore $当$x=1$时，$V$取得极大值，也是最大值，
$\therefore $当剪去的小正方形的边长为$1m$时，盒子的体积最大.
综上所述，结论是：当剪去的小正方形的边长为$1m$时，盒子的体积最大.
解析
考查要点：本题主要考查长方体体积公式的应用，以及利用导数求函数最大值的方法。
解题思路：
- 建立体积函数：根据题意，设剪去的小正方形边长为$x$，则盒子的长、宽、高分别为$8-2x$、$5-2x$、$x$，体积$V=(8-2x)(5-2x)x$。
- 求导分析单调性：将体积函数展开后求导，通过导数的符号变化确定函数的极值点。
- 验证极值点合理性：结合定义域$0 < x < \dfrac{5}{2}$，排除不合理解，确定最大值点。
建立体积函数
设剪去的小正方形边长为$x$，则盒子的体积为：
$V = (8-2x)(5-2x)x = 4x^3 - 26x^2 + 40x \quad (0 < x < \dfrac{5}{2})$
求导并解方程
对$V$求导得：
$V' = 12x^2 - 52x + 40 = 4(3x-10)(x-1)$
令$V'=0$，解得$x=1$或$x=\dfrac{10}{3}$。因$\dfrac{10}{3} > \dfrac{5}{2}$，舍去。
分析单调性
- 当$0 < x < 1$时，$V' > 0$，函数递增；
- 当$1 < x < \dfrac{5}{2}$时，$V' < 0$，函数递减。
因此，$x=1$是极大值点，也是最大值点。