设=1, =(e)^x, =2(e)^x, =2+3(e)^x都是某二阶常系数齐次线性微分方程的解，则此二阶常系数齐次线性微分方程为_________。

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构与特征方程的关系，以及如何根据已知解反推微分方程。

解题核心思路：

1. 确定线性无关解：二阶方程最多有两个线性无关解，需从给定解中筛选出线性无关的两个解。
2. 分析特征根：根据线性无关解的形式（如常数解、指数解）确定对应的特征根。
3. 构造特征方程：通过特征根写出特征方程，进而得到微分方程。

破题关键点：

• 识别解的类型：常数解对应特征根$r=0$，指数解$e^{kx}$对应特征根$r=k$。
• 排除冗余解：$y=2e^x$与$y=e^x$线性相关，$y=2+3e^x$可分解为常数项与指数项的组合。
• 确定特征方程形式：根据线性无关解$y=1$（对应$r=0$）和$y=e^x$（对应$r=1$），构造特征方程$(r)(r-1)=0$。

步骤1：筛选线性无关解

• $y=1$与$y=e^x$：线性无关（一个是常数解，一个是指数解）。
• $y=2e^x$：与$y=e^x$线性相关（倍数关系）。
• $y=2+3e^x$：可分解为$y=2$（常数项）与$y=3e^x$（指数项），其中$y=2$与$y=1$线性相关，$y=3e^x$与$y=e^x$线性相关。

因此，有效线性无关解为$y=1$和$y=e^x$。

步骤2：确定特征根

• $y=1$对应特征根$r=0$（因$e^{0x}=1$）。
• $y=e^x$对应特征根$r=1$（因$e^{1x}=e^x$）。

步骤3：构造特征方程

特征方程为：
$(r - 0)(r - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad r^2 - r = 0$

步骤4：写出微分方程

将特征方程对应的微分方程形式展开：
$y'' - y' = 0$