题目

设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)= { ^2,0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 0,其他 .。

设(X,Y)的联合密度函数为 $f(x,y) = \left \{ ^{\begin{matrix} kx^3 y^2，&0 \le x \le 1，0 \le y \le 1 \end{matrix}}_{\begin{matrix} 0, &其他 \end{matrix}} \right.$ 试求(1)常数k;(2)(X,Y)的边缘密度函数 $f_Y(y)$ 。

题目解答

答案

解：(1)由于 $∫_{(-∞)}^{(+∞)}∫_{(-∞)}^{(+∞)}f(x,y)dxdy=∫_0^1∫_0^1kx^2 y^2 dxdy=\frac{1}{9} k=1$

故 $k=9$

(2)由题可知

当0<y<1时 $f_Y(y)=\int_{(-∞)}^{(+∞)}f(x,y)dx=\int_0^19x^2y^2dx=3y^2$

故(X,Y)的边缘密度函数 $f_Y(y)=\left \{ ^{\begin{matrix} 3y^2，&0 \le y \le 1 \end{matrix}}_{\begin{matrix} 0, &其他 \end{matrix}} \right.$