[例16]求函数 (x)=dfrac (sqrt {x+2)-sqrt (4-{x)^2}}(x-1) 的间断点并判断类型.-|||-解:容易求得函数f (x)的定义域为 [ -2,2] ,因此,函数f(x)若存在间断点必落于区间-|||-(-2,2) 内,显然, x=1 即为该函数的间断点.由于-|||-=lim _(xarrow 1)dfrac ((x+2)(x-1))((x-1)(sqrt {x+2)+sqrt (4-{x)^2})} l-|||-l =lim _(xarrow 1)dfrac (x+2)(sqrt {x+2)+sqrt (4-{x)^2}}=dfrac (sqrt {3)}(2)-|||-因此, x=1 为函数f(x)的第一类间断点(可去间断点).

考查要点：本题主要考查函数间断点的判断及其类型，涉及分母为零、根号内非负性条件，以及极限的计算。

解题核心思路：

1. 确定定义域：找出使函数有意义的x范围，重点关注分母不为零和根号内非负的条件。
2. 识别潜在间断点：分母为零的点（x=1）和定义域的端点（x=-2, x=2）。
3. 判断各点是否为间断点：
   • 端点x=-2和x=2：检查函数在端点处是否有定义。
   • 分母为零的点x=1：通过极限是否存在判断间断类型（第一类或第二类）。

破题关键点：

• 有理化处理：对分子中的根号差进行有理化，简化极限计算。
• 因式分解：约去分母中的(x-1)，求出极限值。

步骤1：确定定义域

1. 分母条件：$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$。
2. 根号内非负：
   • $\sqrt{x+2}$要求$x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$。
   • $\sqrt{4 - x^2}$要求$4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$。
3. 综合定义域：$x \in [-2, 2]$且$x \neq 1$。

步骤2：分析间断点候选

• 分母为零的点：$x = 1$。
• 定义域端点：$x = -2$和$x = 2$。

步骤3：判断各点是否为间断点

端点$x = -2$和$x = 2$

• $x = -2$：代入函数，分子为$0 - 0 = 0$，分母为$-3$，函数值为$0$，有定义。
• $x = 2$：分子为$2 - 0 = 2$，分母为$1$，函数值为$2$，有定义。

分母为零的点$x = 1$

1. 分子在$x=1$处的值：$\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$，形成$0/0$型不定式，需计算极限。
2. 有理化处理：
   $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{4 - x^2}}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{4 - x^2})(\sqrt{x+2} + \sqrt{4 - x^2})}{(x - 1)(\sqrt{x+2} + \sqrt{4 - x^2})}$
3. 化简分子：
   $(x + 2) - (4 - x^2) = x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
4. 约分并求极限：
   $\lim_{x \to 1} \frac{(x + 2)(x - 1)}{(x - 1)(\sqrt{x+2} + \sqrt{4 - x^2})} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{\sqrt{x+2} + \sqrt{4 - x^2}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
5. 结论：极限存在但不等于函数值（因$x=1$处无定义），故$x=1$为可去间断点（第一类）。