设两箱内装有同种零件，第一箱装 50 件，其中有 10 件一等品，第二箱装 30 件，其中有 18 件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回任取两个零件，求： (1)先取出的零件是一等品的概率 p. (2)在先取出的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率 q.

考查要点：本题主要考查全概率公式和条件概率的应用，涉及分箱抽样问题中的概率计算。

解题思路：

1. 第一问：需要计算第一次取出一等品的总概率。由于箱子选择是等可能的，需分别计算从第一箱和第二箱中取出一等品的概率，再通过全概率公式合并。
2. 第二问：在已知第一次取出一等品的条件下，计算第二次也取出一等品的概率。需先计算两次均取出一等品的联合概率，再利用条件概率公式求解。

关键点：

• 全概率公式：将总概率分解为不同箱子情况下的概率之和。
• 条件概率公式：注意两次抽取不放回时，剩余零件数量的变化。

第（1）题

1. 确定基本事件：

   • 选择第一箱或第二箱的概率均为 $\frac{1}{2}$。
   • 第一箱中一等品概率：$\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$。
   • 第二箱中一等品概率：$\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$。

2. 应用全概率公式：
   $P(B_1) = P(A_1)P(B_1|A_1) + P(A_2)P(B_1|A_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.$

第（2）题

1. 计算两次均取出一等品的联合概率：

   • 第一箱：第一次取一等品概率 $\frac{10}{50}$，第二次取一等品概率 $\frac{9}{49}$，联合概率为 $\frac{10}{50} \cdot \frac{9}{49}$。
   • 第二箱：第一次取一等品概率 $\frac{18}{30}$，第二次取一等品概率 $\frac{17}{29}$，联合概率为 $\frac{18}{30} \cdot \frac{17}{29}$。
   • 总联合概率：
     $P(B_1B_2) = \frac{1}{2} \left( \frac{10}{50} \cdot \frac{9}{49} + \frac{18}{30} \cdot \frac{17}{29} \right) = \frac{276}{1421}.$

2. 应用条件概率公式：
   $P(B_2|B_1) = \frac{P(B_1B_2)}{P(B_1)} = \frac{\frac{276}{1421}}{\frac{2}{5}} = \frac{690}{1421}.$