3.3 设二维随机变量(xi,eta)的联合密度函数为f(x,y)=}x^2+(xy)/(3),&0le xle 1,0le yle 2,0&其他.求P(xi+etage 1).

考查要点：本题主要考查二维连续型随机变量的联合密度函数的应用，以及概率计算中的积分方法。关键在于确定积分区域并正确计算二重积分。

解题思路：

1. 补集法：直接计算$P(\xi + \eta \ge 1)$的积分区域较复杂，可先计算其补集$P(\xi + \eta < 1)$，再用$1$减去结果。
2. 积分区域：当$\xi + \eta < 1$时，$\xi$的范围是$0 \le x \le 1$，对应的$\eta$范围是$0 \le y \le 1 - x$。
3. 分步积分：先对$y$积分，再对$x$积分，注意代数运算的准确性。

破题关键：正确划分积分区域并分步计算，避免直接处理复杂区域。

步骤1：确定补集概率

计算$P(\xi + \eta < 1)$：
$P(\xi + \eta < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} f(x,y) \, dy \, dx.$

步骤2：对$y$积分

将$f(x,y) = x^2 + \frac{xy}{3}$代入积分：
$\begin{aligned}\int_{0}^{1-x} \left( x^2 + \frac{xy}{3} \right) dy &= x^2 \int_{0}^{1-x} dy + \frac{x}{3} \int_{0}^{1-x} y \, dy \\&= x^2 (1 - x) + \frac{x}{3} \cdot \frac{(1 - x)^2}{2} \\&= x^2 (1 - x) + \frac{x (1 - x)^2}{6}.\end{aligned}$

步骤3：化简表达式

展开并合并同类项：
$\begin{aligned}x^2 (1 - x) + \frac{x (1 - x)^2}{6} &= x^2 - x^3 + \frac{x (1 - 2x + x^2)}{6} \\&= x^2 - x^3 + \frac{x - 2x^2 + x^3}{6} \\&= \frac{2x^2}{3} - \frac{5x^3}{6} + \frac{x}{6}.\end{aligned}$

步骤4：对$x$积分

将化简后的表达式代入积分：
$\begin{aligned}\int_{0}^{1} \left( \frac{2x^2}{3} - \frac{5x^3}{6} + \frac{x}{6} \right) dx &= \frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1} - \frac{5}{6} \cdot \frac{x^4}{4} \Big|_{0}^{1} + \frac{1}{6} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1} \\&= \frac{2}{9} - \frac{5}{24} + \frac{1}{12} \\&= \frac{16}{72} - \frac{15}{72} + \frac{6}{72} \\&= \frac{7}{72}.\end{aligned}$

步骤5：求最终概率

$P(\xi + \eta \ge 1) = 1 - \frac{7}{72} = \frac{65}{72}.$