李某购买了甲、乙、丙三种花瓶各若干个，共花费1000元．甲、乙、丙三种花瓶的售价分别为29元/个，55元/个、70元/个．已知购买甲花瓶的个数是购买丙花瓶个数的整数倍，购买甲、丙两种花瓶的总个数不少于15个且不超过20个，则李某一共最多购买了（ ）个花瓶．A. 20B. 21C. 23D. 25

考查要点：本题主要考查整数规划的应用，涉及方程求解和条件限制下的最值问题。需要结合题目中的多个约束条件，合理设定变量，通过枚举法寻找符合条件的解。

解题核心思路：

1. 设定变量：设丙花瓶数量为$k$，甲花瓶数量为$m \cdot k$（满足甲是丙的整数倍）。
2. 约束条件：甲、丙总数量$15 \leq k(m+1) \leq 20$，总花费$29mk + 55x + 70k = 1000$，其中$x$为乙的数量且为整数。
3. 目标：在满足条件的情况下，最大化总花瓶数$mk + x + k$。

破题关键点：

• 枚举可能的$k$和$m$组合，优先考虑甲、丙总数量较大的情况。
• 验证总花费是否为整数，确保$x$为非负整数。

设定变量与约束条件

1. 设丙花瓶数量为$k$，甲花瓶数量为$m \cdot k$（$m$为正整数）。
2. 甲、丙总数量满足：
   $15 \leq k(m+1) \leq 20.$
3. 总花费方程：
   $29mk + 55x + 70k = 1000.$

枚举可能的$k$和$m$

当$k=1$时

• 甲、丙总数量为$m+1$，需满足$15 \leq m+1 \leq 20$，即$m=14$到$19$。
• 当$m=15$时：
  • 甲数量为$15 \times 1 = 15$，丙数量为$1$，总数量$16$。
  • 总花费：$15 \times 29 + 1 \times 70 = 435 + 70 = 505$。
  • 剩余金额：$1000 - 505 = 495$，乙数量$x = \frac{495}{55} = 9$（整数）。
  • 总花瓶数：$15 + 9 + 1 = 25$。

当$k=3$时

• 甲、丙总数量为$3(m+1)$，需满足$15 \leq 3(m+1) \leq 20$，即$m+1=5$到$6$，对应$m=4$到$5$。
• 当$m=4$时：
  • 甲数量为$4 \times 3 = 12$，丙数量为$3$，总数量$15$。
  • 总花费：$12 \times 29 + 3 \times 70 = 348 + 210 = 558$。
  • 剩余金额：$1000 - 558 = 442$，乙数量$x = \frac{442}{55} \approx 8.036$（非整数，舍去）。

其他$k$值

• 经验证，其他$k$值（如$k=2,5$等）均无法使$x$为整数或总花瓶数更小。