9.求下列函数的全微分:-|||-(1) =ysin (x+y);

考查要点：本题主要考查二元函数全微分的计算方法，需要掌握偏导数的求导规则以及全微分的表达式形式。

解题核心思路：

1. 分别对变量$x$和$y$求偏导数，其中对$x$求偏导时将$y$视为常数，对$y$求偏导时将$x$视为常数。
2. 应用乘积法则和链式法则处理复合函数的导数。
3. 组合偏导数与微分$dx$、$dy$，得到全微分表达式。

破题关键点：

• 对$y \sin(x+y)$中的$y$和$\sin(x+y)$正确应用乘积法则。
• 在对$y$求偏导时，注意$\sin(x+y)$对$y$的导数需要链式法则。

第（1）题

函数：$z = y \sin(x + y)$

步骤1：求$\frac{\partial z}{\partial x}$

将$y$视为常数，对$x$求导：
$\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \cos(x + y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x + y) = y \cos(x + y)$

步骤2：求$\frac{\partial z}{\partial y}$

将$x$视为常数，对$y$求导，需应用乘积法则：
$\frac{\partial z}{\partial y} = \sin(x + y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y) + y \cdot \cos(x + y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x + y)$
化简得：
$\frac{\partial z}{\partial y} = \sin(x + y) + y \cos(x + y)$

步骤3：组合全微分

根据全微分公式：
$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$
代入偏导数结果：
$dz = y \cos(x + y) dx + \left[ \sin(x + y) + y \cos(x + y) \right] dy$