题目

已知一元二次函数的图像的顶点坐标为，并且经过点，求：(1)函数的解析式；(2)函数图像的对称轴；(3)函数单调递减的区间。

已知一元二次函数 $f\left(x\right)$ 的图像的顶点坐标为 $\left(1,2\right)$ ，并且经过点 $P\left(3,-4\right)$ ，求：

(1)函数 $f\left(x\right)$ 的解析式；

(2)函数图像的对称轴；

(3)函数单调递减的区间。

题目解答

(1)

一元二次函数有三种表达式：

通用式： $f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)$

顶点式： $f\left(x\right)=a\left(x-h\right)^2+k\left(a\ne0\right)$

双根式： $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(a\ne0\right)$

题设给出了顶点坐标，

因此可以设一元二次函数为顶点式：

$f\left(x\right)=a\left(x-h\right)^2+k\left(a\ne0\right)$

其中 $h$ 是一元二次函数的顶点横坐标， $k$ 是一元二次函数的顶点纵坐标。

因为顶点坐标为 $\left(1,2\right)$ ，

所以一元二次函数为：

$f\left(x\right)=a\left(x-1\right)^2+2\left(a\ne0\right)$

又因为点 $P\left(3,-4\right)$ 在 $f\left(x\right)$ 上，

所以 $f\left(3\right)=a\left(3-1\right)^2+2=4$

解得 $a=\frac{1}{2}$

所以函数 $f\left(x\right)$ 的解析式为：

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+2$

(2)

一元二次函数 $f\left(x\right)$ 的对称轴为顶点 $\left(1,2\right)$ 所在的横坐标并与x轴垂直的直线，

所以函数图像的对称轴为 $x=1$

(3)

由 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+2$ 求导得

$f'\left(x\right)=x-1$

令 $f'\left(x\right)<0$ ，即 $x-1<0$ ，

得到 $x<1$

所以函数单调递减的区间为 $\left(-\infty,1\right)$

考查要点：本题主要考查一元二次函数的顶点式求法、对称轴的确定以及函数单调性的判断。

解题思路：

顶点式应用：已知顶点坐标时，优先使用顶点式$f(x)=a(x-h)^2 +k$，代入顶点坐标后，再利用已知点求参数$a$。
对称轴性质：一元二次函数的对称轴为直线$x=h$，直接由顶点横坐标确定。
单调性分析：通过导数或抛物线开口方向判断单调区间。开口方向由$a$的符号决定：$a>0$时开口向上，对称轴左侧递减；$a<0$时开口向下，对称轴左侧递增。

关键点：

第（1）题

步骤1：设顶点式
已知顶点$(1,2)$，设函数为：
$f(x) = a(x-1)^2 + 2$

步骤2：代入点$P(3,-4)$求$a$
将$x=3$，$f(x)=-4$代入方程：
$-4 = a(3-1)^2 + 2 \implies -4 = 4a + 2 \implies 4a = -6 \implies a = -\dfrac{3}{2}$

步骤3：写出解析式
将$a=-\dfrac{3}{2}$代入顶点式：
$f(x) = -\dfrac{3}{2}(x-1)^2 + 2$

第（2）题

对称轴公式
一元二次函数的对称轴为顶点横坐标对应的直线：
$x = 1$

第（3）题

步骤1：求导数
对$f(x)$求导：
$f'(x) = 2 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)(x-1) = -3(x-1)$

步骤2：确定单调递减区间
令$f'(x) < 0$：
$-3(x-1) < 0 \implies x-1 > 0 \implies x > 1$
因此，函数在区间$(1, +\infty)$上单调递减。