11.设 (x)=a(x)^3-3a(x)^2+b(agt 0) 在区间 [ -1,3] 上的最大值为1,最小值为 -3., 试求常数a和b的值.

步骤 1：确定函数的导数
首先，我们计算函数 $f(x) = ax^3 - 3ax^2 + b$ 的导数，以确定函数的单调性。
$$f'(x) = 3ax^2 - 6ax$$
步骤 2：求导数的零点
令 $f'(x) = 0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 2$。
步骤 3：分析函数的单调性
由于 $a > 0$，我们分析 $f'(x)$ 的符号：
- 当 $x < 0$ 或 $x > 2$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；
- 当 $0 < x < 2$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。
步骤 4：确定函数的极值点
根据单调性分析，$x = 0$ 和 $x = 2$ 是函数的极值点。
步骤 5：计算函数在区间端点和极值点的值
- $f(-1) = -4a + b$
- $f(0) = b$
- $f(2) = -4a + b$
- $f(3) = b$
步骤 6：确定最大值和最小值
根据题目条件，函数在区间 $[-1, 3]$ 上的最大值为1，最小值为-3。因此，我们有：
- $f(0) = b = 1$
- $f(-1) = -4a + b = -3$
步骤 7：求解常数a和b
将 $b = 1$ 代入 $-4a + b = -3$，解得 $a = 1$。