8.一平面过原点及点 (6,-3,2) 且与平面 4x-y+2z-8=0 垂直,则此平面方程为 __

考查要点：本题主要考查平面方程的求解，涉及平面过定点、平面垂直的条件等知识点。

解题核心思路：

1. 确定平面的一般形式：由于平面过原点，方程形式为$Ax + By + Cz = 0$。
2. 利用已知点代入方程：将点$(6, -3, 2)$代入方程，得到关于$A, B, C$的关系式。
3. 平面垂直条件：两平面垂直的充要条件是法向量点积为$0$，由此建立第二个方程。
4. 解方程组确定法向量：联立方程求解$A, B, C$的比例关系，最终确定平面方程。

破题关键点：

• 法向量垂直条件：正确应用两平面法向量点积为$0$的条件。
• 参数化处理：通过设定参数消元，找到法向量的整数比例形式。

步骤1：设平面方程形式

平面过原点，方程为：
$Ax + By + Cz = 0$

步骤2：代入已知点

将点$(6, -3, 2)$代入方程：
$6A - 3B + 2C = 0 \quad \text{(1)}$

步骤3：应用垂直条件

已知平面$4x - y + 2z - 8 = 0$的法向量为$(4, -1, 2)$，所求平面法向量为$(A, B, C)$。两法向量垂直，故：
$4A - B + 2C = 0 \quad \text{(2)}$

步骤4：联立方程求解

联立方程(1)和(2)：

1. 消元处理：将方程(2)乘以3，得：
   $12A - 3B + 6C = 0 \quad \text{(2')}$
2. 方程(1)减去方程(2')：
   $(6A - 3B + 2C) - (12A - 3B + 6C) = 0 \\ -6A - 4C = 0 \implies 3A + 2C = 0 \implies C = -\frac{3}{2}A$
3. 代入方程(2)求B：
   $4A - B + 2\left(-\frac{3}{2}A\right) = 0 \\ 4A - B - 3A = 0 \implies A = B$

步骤5：确定法向量

令$A = 2$（消去分母），则$B = 2$，$C = -3$，法向量为$(2, 2, -3)$，平面方程为：
$2x + 2y - 3z = 0$