题目
1.判断下列命题是否正确,并说明理由:-|||-1-|||-(1)矩阵A=-|||-=([ )^1 1 2] 与B= 2 相似;-|||-1-|||-1-|||-(2)矩阵A= 1 与B= 1 2 0 0 1 0 0 0 2 相似;-|||-2-|||-(3)若 backsim B, 则 |A|=|B|;-|||-(4)若 backsim B, 则对于任意实数k, kE+A 与 kE+B 相似;-|||-(5)若方阵A相似于对角矩阵,则A必为可逆矩阵;-|||-(6)若n阶方阵A相似于对角矩阵,则A必有n个线性无关的特征向量;-|||-(7)若 backsim B, 则A与B均相似于同一个对角矩阵;-|||-(8)若 backsim B, 则对应于同一个特征值,A,B的特征向量也相同;-|||-(9)若方阵A,B有相同的特征值,则 backsim B;-|||-(10)设λ为n阶方阵A的一个k重特征值.若A相似于对角阵,则 (lambda E-A)=n-k.
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩阵相似的定义
矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP = B$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
步骤 2：判断矩阵相似
(1)矩阵A和B的特征值相同，但它们的特征向量不同，因此它们不相似。
(2)矩阵A和B的特征值相同，且它们的特征向量也相同，因此它们相似。
(3)相似矩阵的行列式相等，因此|A|=|B|。
(4)相似矩阵的线性组合也相似，因此kE+A与kE+B相似。
(5)相似于对角矩阵的矩阵不一定可逆，因为对角矩阵的对角线元素可以为零。
(6)相似于对角矩阵的矩阵有n个线性无关的特征向量，因为对角矩阵的对角线元素是特征值，每个特征值对应一个特征向量。
(7)相似矩阵不一定相似于同一个对角矩阵，因为它们的特征向量可能不同。
(8)相似矩阵的特征向量不一定相同，因为它们的特征向量可能不同。
(9)具有相同特征值的矩阵不一定相似，因为它们的特征向量可能不同。
(10)若A相似于对角阵，则A的特征值为对角线元素，因此$r(\lambda E-A)=n-k$。
矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP = B$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
步骤 2：判断矩阵相似
(1)矩阵A和B的特征值相同，但它们的特征向量不同，因此它们不相似。
(2)矩阵A和B的特征值相同，且它们的特征向量也相同，因此它们相似。
(3)相似矩阵的行列式相等，因此|A|=|B|。
(4)相似矩阵的线性组合也相似，因此kE+A与kE+B相似。
(5)相似于对角矩阵的矩阵不一定可逆，因为对角矩阵的对角线元素可以为零。
(6)相似于对角矩阵的矩阵有n个线性无关的特征向量，因为对角矩阵的对角线元素是特征值，每个特征值对应一个特征向量。
(7)相似矩阵不一定相似于同一个对角矩阵，因为它们的特征向量可能不同。
(8)相似矩阵的特征向量不一定相同，因为它们的特征向量可能不同。
(9)具有相同特征值的矩阵不一定相似，因为它们的特征向量可能不同。
(10)若A相似于对角阵，则A的特征值为对角线元素，因此$r(\lambda E-A)=n-k$。