17. 求极限 lim _(x arrow 0) (x- ln (1+x))/(1- cos x)

当 $x \to 0$ 时，分子 $x - \ln(1+x)$ 和分母 $1 - \cos x$ 均趋于 0，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。可使用泰勒展开或洛必达法则求解。

方法一：泰勒展开
分子：$x - \ln(1+x) \approx x - \left(x - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^2}{2}$（高阶无穷小忽略）。
分母：$1 - \cos x \approx 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^2}{2}$。
因此，
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}} = 1.$

方法二：洛必达法则
应用洛必达法则，
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x)\sin x}.$
再次应用洛必达法则，
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x)\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(1+x)\cos x + \sin x} = 1.$

结论：
$\boxed{1}$