下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 } 1 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 的是(A) } 1 & 1 & 0 & 1 1 & 2 & 1 & 3 2 & 3 & 1 & 4 .(B) } 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & 5 1 & 1 & 1 & 3 .(C) } 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 0 .(D) } 1 & 1 & 2 & 3 1 & 2 & 2 & 3 2 & 3 & 4 & 6 .

我们要判断哪一个矩阵可以通过初等行变换（如交换两行、某行乘以非零常数、某行加到另一行上等）变换为给定的矩阵：

$\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

第一步：理解目标矩阵的结构

目标矩阵的行最简形是：

$\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

我们可以看出：

• 第一行是主元行，主元在第1列。
• 第二行是主元行，主元在第3列。
• 第三行全为0，表示这个矩阵的秩为2。
• 该矩阵是阶梯形矩阵，且是行最简形。

第二步：判断哪个选项可以通过初等行变换得到目标矩阵

我们逐个分析选项，看是否可以通过初等行变换将其化为上述形式。

选项 (A)

$A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\1 & 2 & 1 & 3 \\2 & 3 & 1 & 4\end{bmatrix}$

我们尝试对其做行变换：

1. $ R_2 \leftarrow R_2 - R_1 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$

2. $ R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

3. $ R_3 \leftarrow R_3 - R_2 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

4. 现在已经是阶梯形，但还不是行最简形。我们想让第二行的主元在第3列，而目前在第2列。

   我们可以尝试消去第一行的第2列的1（通过 $ R_1 \leftarrow R_1 - R_2 $）：

   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

   这个矩阵不是目标矩阵，因为主元列不同，而且第一行第3列是 -1，不是 0。

所以，选项 (A) 不能通过初等行变换得到目标矩阵。

选项 (B)

$B = \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 2 & 5 \\1 & 1 & 1 & 3\end{bmatrix}$

1. $ R_2 \leftarrow R_2 - R_1 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

2. $ R_3 \leftarrow R_3 - R_1 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

3. $ R_2 \leftrightarrow R_3 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{bmatrix}$

4. $ R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

这个就是目标矩阵！

✅ 所以，选项 (B) 可以通过初等行变换得到目标矩阵。

选项 (C)

$C = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 & 3 \\0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}$

1. $ R_3 \leftarrow R_3 - R_2 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$

2. $ R_3 \leftarrow -\frac{1}{3}R_3 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. $ R_1 \leftarrow R_1 - R_3 $, $ R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

这个矩阵是单位矩阵，秩为3，而目标矩阵秩为2，不可能通过行变换得到。

❌ 所以，选项 (C) 不行。

选项 (D)

$D = \begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 3 \\1 & 2 & 2 & 3 \\2 & 3 & 4 & 6\end{bmatrix}$

1. $ R_2 \leftarrow R_2 - R_1 $, $ R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2. $ R_3 \leftarrow R_3 - R_2 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. $ R_1 \leftarrow R_1 - R_2 $:
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

这个矩阵的主元在第1列和第2列，与目标矩阵的主元位置不同，且无法通过行变换将主元移到第3列。

❌ 所以，选项 (D) 不行。

✅ 最终答案：

选项 (B) 可以通过初等行变换得到目标矩阵。

答案：

$\boxed{B}$