三、(本大题8分)计算4阶行列式的值-|||-D= |} 3& 1& -1& 2 -5& 1& 3& -4 2& 0& 1& -1 1& -5& 3& -3 | .-|||-5 1 .-1-|||- 1 -1 0 0 =(-1) 3+3 -11 1 -1 |=(-1)^(1+3)| -6 2| =40.······(2分)-|||-5 1 1-|||-解: D= -11 1 3-|||-0 0 1 -5 -5-|||--5 -5 3-|||--5 -5 0-|||-(2分) ......(2分) ······(2分)
题目解答
答案
解析
本题考查4阶行列式的计算，解题思路是利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，上三角行列式的值等于主对角线元素之积；也可以利用行列式按行（列）展开法则，将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算。这里我们采用按行（列）展开法则来计算。
步骤一：选择合适的行或列进行展开
观察行列式，发现第三行有一个元素为$0$，选择按第三行展开行列式。根据行列式按行展开法则：$D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}$（$i = 1,2,\cdots,n$），其中$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，$M_{ij}$是$a_{ij}$的余子式，即划去$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列后剩下的$(n - 1)$阶行列式。
对于本题，按第三行展开可得：
\(D=2\times(-1)^{3 + 1}\begin{vmatrix}
1&-1&2\\
1&3&-4\\
-5&3&-3
\end{vmatrix}+0\times(-1)^{3 + 2}\begin{vmatrix}
3&-1&2\\
-5&3&-4\\
1&3&-3
\end{vmatrix}+1\times(-1)^{3 + 3}\begin{vmatrix}
3&1&2\\
-5&1&-4\\
1&-5&-3
\end{vmatrix}+(-1)\times(-1)^{3 + 4}\begin{vmatrix}
3&1&-1\\
-5&1&3\\
1&-5&3
\end{vmatrix}\)
因为\(0\times(-1)^{3 + 2}\begin{vmatrix}
3&-1&2\\
-5&3&-4\\
1&3&-3
\end{vmatrix}=0\)，所以\(D = 2\begin{vmatrix}
1&-1&2\\
1&3&-4\\
-5&3&-3
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
3&1&2\\
-5&1&-4\\
1&-5&-3
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
3&1&-1\\
-5&1&3\\
1&-5&3
\end{vmatrix}\)
步骤二：分别计算三个3阶行列式的值
- 计算\(\begin{vmatrix}
1&-1&2\\
1&3&-4\\
-5&3&-3
\end{vmatrix}\)的值：
\(\begin{vmatrix} 1&-1&2\\ 1&3&-4\\ -5&3&-3 \end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix} 3&-4\\ 3&-3 \end{vmatrix}-(-1)\times\begin{vmatrix} 1&-4\\ -5&-3 \end{vmatrix}+2\times\begin{vmatrix} 1&3\\ -5&3 \end{vmatrix}\)
$=1\times(3\times(-3)-3\times(-4)) + 1\times(1\times(-3)-(-5)\times(-4))+2\times(1\times3-(-5)\times3)$
$=1\times(-9 + 12)+1\times(-3 - 20)+2\times(3 + 15)$
$=1\times3+1\times(-23)+2\times18$
$=3-23 + 36$
$=16$ - 计算\(\begin{vmatrix}
3&1&2\\
-5&1&-4\\
1&-5&-3
\end{vmatrix}\)的值：
\(\begin{vmatrix} 3&1&2\\ -5&1&-4\\ 1&-5&-3 \end{vmatrix}=3\times\begin{vmatrix} 1&-4\\ -5&-3 \end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix} -5&-4\\ 1&-3 \end{vmatrix}+2\times\begin{vmatrix} -5&1\\ 1&-5 \end{vmatrix}\)
$=3\times(1\times(-3)-(-5)\times(-4))-1\times((-5)\times(-3)-1\times(-4))+2\times((-5)\times(-5)-1\times1)$
$=3\times(-3 - 20)-1\times(15 + 4)+2\times(25 - 1)$
$=3\times(-23)-1\times19+2\times24$
$=-69-19 + 48$
$=-40$ - 计算\(\begin{vmatrix}
3&1&-1\\
-5&1&3\\
1&-5&3
\end{vmatrix}\)的值：
\(\begin{vmatrix} 3&1&-1\\ -5&1&3\\ 1&-5&3 \end{vmatrix}=3\times\begin{vmatrix} 1&3\\ -5&3 \end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix} -5&3\\ 1&3 \end{vmatrix}+(-1)\times\begin{vmatrix} -5&1\\ 1&-5 \end{vmatrix}\)
$=3\times(1\times3-(-5)\times3)-1\times((-5)\times3-1\times3)+(-1)\times((-5)\times(-5)-1\times1)$
$=3\times(3 + 15)-1\times(-15 - 3)+(-1)\times(25 - 1)$
$=3\times18-1\times(-18)+(-1)\times24$
$=54 + 18-24$
$=48$
步骤三：将三个3阶行列式的值代入$D$的表达式中计算$D$的值
$D = 2\times16+(-40)+48$
$=32-40 + 48$
$=40$