(4)下列级数中,条件收敛的级数为 () .-|||-(A) sum _(n=1)^infty ((dfrac {1+3i)(2))}^n (B) sum _(n=1)^infty dfrac ({(3+4i))^n}(n!)-|||-(C) sum _(n=1)^infty dfrac ({i)^n}(n) (D) sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n+i}(sqrt {n+1)}

考查要点：本题主要考查复数项级数的收敛性判断，特别是条件收敛的判定。需要掌握绝对收敛与条件收敛的区别，以及常见级数（如几何级数、幂级数、交错级数等）的收敛性判别方法。

解题核心思路：

1. 条件收敛的定义：级数本身收敛，但其绝对值级数发散。
2. 对每个选项的通项进行分析，判断其收敛性：
   • 几何级数：通过公比模长判断绝对收敛性；
   • 幂级数：通过阶乘增长速度判断绝对收敛性；
   • 复数拆分：将复数级数拆分为实部和虚部，分别判断收敛性；
   • Dirichlet判别法：用于判断条件收敛的复数级数。

破题关键点：

• 选项C的通项为$\dfrac{i^n}{n}$，需验证其级数收敛但绝对值级数发散；
• 其他选项可通过绝对收敛性直接排除。

选项分析

选项C：$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{i}^{n}}{n}$

1. 拆分复数项：
   $i^n$的周期为4，依次取值$i, -1, -i, 1$，因此级数可拆分为实部和虚部的交错级数：
   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^n}{n} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{-1}{4k+2} + \frac{-i}{4k+3} + \frac{1}{4k+4} + \frac{i}{4k+1} \right)$
2. 收敛性判断：
   • Dirichlet判别法：$\dfrac{1}{n}$单调递减趋于0，$i^n$的模恒为1且部分和有界，因此原级数收敛。
   • 绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$为调和级数，发散。
     综上，选项C条件收敛。

其他选项排除

• 选项A：$\sum \left( \dfrac{1+3i}{2} \right)^n$
  公比模长为$\dfrac{\sqrt{10}}{2} < 1$，几何级数绝对收敛。

• 选项B：$\sum \dfrac{(3+4i)^n}{n!}$
  通项模长为$\dfrac{5^n}{n!}$，当$n \to \infty$时趋于0，绝对收敛。

• 选项D：$\sum \dfrac{(-1)^n + i}{\sqrt{n+1}}$
  拆分为$\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$（收敛）和$\sum \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$（发散），整体发散。