f(z)=1/(e[^]z-1)在z = π i处的泰勒级数的收敛半径为（ ）A. πB. 2πC. πiD. 2πi

考查要点：本题主要考查复变函数泰勒级数收敛半径的确定方法，需要理解奇点对收敛半径的影响。

解题核心思路：泰勒级数的收敛半径由展开点到最近奇点的距离决定。因此，需找到函数$f(z)=\frac{1}{e^z-1}$的所有奇点，计算展开点$z=\pi i$到这些奇点的最小距离。

破题关键点：

1. 确定奇点位置：分母$e^z-1=0$的解为$z=2k\pi i$（$k$为整数）。
2. 计算距离：展开点$z=\pi i$到最近奇点$z=0$和$z=2\pi i$的距离均为$\pi$。
3. 结论：收敛半径为$\pi$。

步骤1：确定函数的奇点

函数$f(z)=\frac{1}{e^z-1}$的奇点满足$e^z=1$，解得：
$z=2k\pi i \quad (k \in \mathbb{Z})$

步骤2：计算展开点到奇点的距离

展开点为$z=\pi i$，计算其到相邻奇点$z=0$和$z=2\pi i$的距离：

• 到$z=0$的距离：$|\pi i - 0| = \pi$
• 到$z=2\pi i$的距离：$|\pi i - 2\pi i| = \pi$

步骤3：确定收敛半径

泰勒级数的收敛半径为展开点到最近奇点的最小距离，即$\pi$。